2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性与周期性课件 39页

第 4 讲　函数的奇偶性与周期性 课标要求 考情风向标 1. 结合具体函数，了解 奇偶性的含义 . 2. 学会运用函数图象理 解和研究函数的性质 本节复习时应结合具体实例和函数的 图象，理解函数的奇偶性、周期性、对 称性的概念，明确它们在研究函数中的 作用和功能 . 重点解决综合利用函数的 性质解决有关问题 函数 定义 等价形式 图象性质 奇函数 对于函数 f ( x ) 的定义域 内任意一个 x ，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0 关于原点对称 偶函数 对于函数 f ( x ) 的定义域 内任意一个 x ，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) f ( － x ) － f ( x ) ＝ 0 关于 _______ 对称 1. 函数的奇偶性 y 轴 2. 函数的周期性 对于函数 f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得定义域内的 每一个 x 值，都满足 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f ( x ) 就叫做周期函 数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 . D 2. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈( －∞， 0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋ x 2 ，则 f (2) ＝ ______. 12 3.(2018 年新课标 Ⅲ ) 下列函数中，其图象与函数 y ＝ ln x 的 图象关于直线 x ＝ 1 对称的是 ( ) B A. y ＝ ln(1 － x ) C. y ＝ ln(1 ＋ x ) B. y ＝ ln(2 － x ) D. y ＝ ln(2 ＋ x ) 4.(2019 年新课标 Ⅱ ) 设 f ( x ) 为奇函数，且当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ e x － 1 ，则当 x <0 时， f ( x ) ＝ ( 　　 ) D 解析： 设 x <0 ，则－ x >0 ， f ( － x ) ＝ e － x － 1 ， f ( x ) 为奇函数， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ＝ e － x － 1 ，则当 x <0 时， f ( x ) ＝－ e － x ＋ 1. A.e － x － 1 B.e － x ＋ 1 C. － e － x － 1 D. － e － x ＋ 1 考点 1 判断函数的奇偶性 例 1 ： (1) 设函数 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域都为 R ，且 f ( x ) 是奇函 ) 数， g ( x ) 是偶函数，则下列结论中正确的是 ( A. f ( x ) g ( x ) 是偶函数 B.| f ( x )| g ( x ) 是奇函数 C. f ( x )| g ( x )| 是奇函数 D.| f ( x ) g ( x )| 是奇函数 解析： 依题意，得对任意 x ∈ R ，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， g ( － x ) ＝ g ( x ) ，因此， f ( － x ) g ( － x ) ＝－ f ( x ) g ( x ) ＝－ [ f ( x )· g ( x )] ， f ( x ) g ( x ) 是奇函数， A 错误； | f ( － x )| g ( － x ) ＝ | － f ( x )|· g ( x ) ＝ | f ( x )| g ( x ) ， | f ( x )| g ( x ) 是偶函数， B 错误； f ( － x )| g ( － x )| ＝－ f ( x )| g ( x )| ＝ － [ f ( x )| g ( x )|] ， f ( x )| g ( x )| 是奇函数， C 正确； | f ( － x )· g ( － x )| ＝ | － f ( x ) g ( x )| ＝ | f ( x ) g ( x )| ， | f ( x ) g ( x )| 是偶函数， D 错误 . 故选 C. 答案： C ) (2) 设 f ( x ) 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 ( A. f ( x ) f ( － x ) 是奇函数 B. f ( x )| f ( － x )| 是奇函数 C. f ( x ) － f ( － x ) 是偶函数 D. f ( x ) ＋ f ( － x ) 是偶函数 解析： A 中 F ( x ) ＝ f ( x ) f ( － x ) ，则 F ( － x ) ＝ f ( － x ) f ( x ) ＝ F ( x ) ， 即函数 F ( x ) ＝ f ( x ) f ( － x ) 为偶函数，∴ A 错误； B 中 F ( x ) ＝ f ( x )| f ( － x )| ， F ( － x ) ＝ f ( － x )| f ( x )| ，此时 F ( x ) 与 F ( － x ) 的关系不能确定，即函数 F ( x ) ＝ f ( x )| f ( － x )| 的奇偶性不确 定，∴ B 错误； C 中 F ( x ) ＝ f ( x ) － f ( － x ) ， F ( － x ) ＝ f ( － x ) － f ( x ) ＝－ F ( x ) ，即 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － f ( － x ) 为奇函数，∴ C 错误； D 中 F ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) ， F ( － x ) ＝ f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ F ( x ) ，即函 数 F ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) 为偶函数，∴ D 正确 . 答案： D (3)(2015 年北京 ) 下列函数中为偶函数的是 ( ) B. y ＝ x 2 cos x D. y ＝ 2 － x A. y ＝ x 2 sin x C. y ＝ |ln x | 答案： B (4) 下列函数为奇函数的是 ( ) 答案： A 答案： D 【 规律方法 】 判断函数奇偶性的方法： ① 定义法：第一步先看函数 f ( x ) 的定义域是否关于原点对 称，若不对称，则为非奇非偶函数 . 第二步直接或间接利用奇偶 函数的定义来判断，即若有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ② 图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断 . 分段函数奇 偶性的判断常用图象法； ③ 复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合 而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定， 概括为 “ 同奇为奇，一偶则偶”； ④ 抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值， 通过合理、灵活的变形配凑来判断 . 考点 2 根据函数的奇偶性求参数的值 ( 范围 ) 偶函数，则 a ＝ ________. 答案： 1 (2) 若 f ( x ) ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax 是偶函数，则 a ＝ ________. 答案： D 【 规律方法 】 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法：先利用 f ( x )± f ( － x ) ＝ 0 得到关于待求参数 的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解 . 考点 3 函数奇偶性与周期性的综合应用 例 3 ： (1) (2017 年山东 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， ________. 解析： 由 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x － 2) ，得 T ＝ 6, f (919) ＝ f (153×6 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ f ( － 1) ＝ 6 － ( － 1) ＝ 6. 答案： 6 且 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x － 2). 若当 x ∈ [ － 3,0] 时， f ( x ) ＝ 6 － x ，则 f (919) ＝ (2)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知 f ( x ) 是定义域为 ( －∞，＋∞ ) 的奇 函数，满足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ). 若 f (1) ＝ 2 ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) ＝ ( ) A. － 50 B.0 C.2 D.50 解析： f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x )⇒ f (2 － x ) ＝ f ( x )⇒ f (2 ＋ x ) ＝ f ( － x ) ＝ － f ( x )⇒ f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ， f ( x ) 是定义域为 ( －∞，＋∞ ) 的奇函数， f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 2 ， f (2) ＝ f (0) ＝ 0 ， f (3) ＝ f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 2 ， f (4) ＝ 0 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＝ 0. 则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) ＝ f (1) ＋ f (2) ＝ 2. 答案： C 解析： ∵ f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ， 则 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数 . 又∵ f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， f (0) ＝ 0 ， ∴ f (6) ＝ f (4 ＋ 2) ＝ f (2) ＝－ f (0) ＝ 0 ， f ( － 7) ＝ f ( － 8 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 2 1 － 1 ＝ 1 ， 答案： B 【 规律方法 】 本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础 题 . 在涉及函数求值问题中，可利用周期性 f ( x ) ＝ f ( x ＋ T ) ，化函 数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利 用奇偶性转化到已知区间上，再由函 数式求值即可 . 【 跟踪训练 】 － 2 难点突破 ⊙ 函数对称性质的判断及应用 ③ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 . 其中真命题的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ∴ f ( x ) 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故③正确 . 答案： C 【 跟踪训练 】 － 2 1. 在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察 其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性， 为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定 义进一步研究其奇偶性；奇函数的图象关于原点对称，偶函数 的图象关于 y 轴对称，反之也是 . 利用这一性质可简化一些函数 图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性；分段函数奇偶 性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义 域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上奇偶 性 . 解析式 周期 特征 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x ) T ＝ a — f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) T ＝ 2 a 相反 T ＝ 2 a 互倒 T ＝ 2 a 反倒 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x － a ) T ＝ 2 a — f ( x ) ＝ f ( x ＋ a ) ＋ f ( x － a ) T ＝ 6 a — 2. 函数的周期性与对称性性质总结： (1) 周期性：对任意的 x ∈ D ，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，则 T 叫做 函数 f ( x ) 的周期 . 解析式 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x － a ) f ( a ＋ x ) ＝ f ( a － x ) f ( a ＋ x ) ＝－ f ( a － x ) 特征 x 前系数相同 x 前系数相反，且 f 前系数相同 x 前系数相反，且 f 前系数相反 结论 周期 T ＝ 2 a ① 轴对称 ② 关于 x ＝ a 轴对称 ① 中心对称 ② 关于 ( a, 0) 中心对称 类比 f ( x ＋ 2 a ) ＝ f ( x ) f ( － x ) ＝ f ( x )⇔ f (0 － x ) ＝ f (0 ＋ x ) 偶函数，关 于 x ＝ 0 对称 f ( － x ) ＝－ f ( x )⇔ f (0 － x ) ＝－ f (0 ＋ x ) 奇函 数，关于 (0,0) 对称 (2) 比较周期性与对称性： 解析式 结论 记忆 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x － b ) T ＝ | a － ( － b )| ＝ | a ＋ b | 消去 x f ( a ＋ x ) ＝ f ( b － x ) 消去 x ，相加除 2 f ( a ＋ x ) ＝－ f ( b － x ) 消去 x ，相加除 2 f ( a ＋ x ) ＋ f ( b － x ) ＝ c 消去 x ，相加除 2 (3) 如何计算一般形式的周期和对称 ( 这是一个函数自身的 对称关系 ) ： 解析式 结论 记忆 y ＝ f ( a ＋ x ) 与 y ＝ f ( b － x ) 相等求 x y ＝ f ( a ＋ x ) 与 y ＝－ f ( b － x ) 相等求 x (4) 两个函数的对称关系： 对称性 周期性 周期 f ( x ) 的图象有两条对 称轴 x ＝ a 和 x ＝ b f ( x ) 为周期 函数 2| b － a | 为一个周期 f ( x ) 的图象 有两个对 称中心 ( a, 0) 和 ( b, 0) f ( x ) 为周期 函数 2| b － a | 为一个周期 f ( x ) 的图象有一条对 称轴 x ＝ a 和一个对称 中心 ( b, 0) f ( x ) 为周期 函数 4| b － a | 为一个周期 (5) 周期与对称的关系：