高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程互动课堂学案新人教A版选修4-41 6页

一 曲线的参数方程 互动课堂 重难突破 本课的重点是曲线的参数方程的概念、圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化;难 点是对参数方程的理解以及参数方程与普通方程互化的等价性. 一、参数方程的概念 1.曲线的参数方程的实际意义及其必要性. 在日常生活和工农业生产中，很多时候都会涉及到曲线的参数方程，比如物理学中的水 平抛出的物体的运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与 抛出的时间有着密切的关系；再比如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在 的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间 作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息.此时用参数方程来描述运动规 律，常常比用普通方程更为直接简便.有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较 困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解.由此可见，曲线的参数方程是从实际生 活中抽象出来的，并非人们的想当然，是现实生活的某个方面的反映，但又不是简单的生活 再现，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产. 2.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t 的函数      )( ),( tgy tfx (※),并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(※)所确定的点 M(x,y)都在这条曲 线上,那么方程(※)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参 数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 参数是联系变数 x、y 的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显 意义的变数. 3.曲线的参数方程的特点 曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是 通过参数反映坐标变量 x、y 间的间接联系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一个点也必然对 应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就 要注意参数的选取.一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标 (x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与 x、y 的相互关系比较明显，容易列 出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、 旋转角、动直线的斜率、倾斜角、截距等.有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参 数，再设法消去其中的参数得到普通方程. 二、圆的参数方程 1.        sin ,cos ry rx (θ为参数),这是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程.其中参数θ的几 何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度,如图. 由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.再例如,上图中圆的参数方程还可为 x=rcosωt, y=rsinωt(t 为参数).其中参数 t 有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的 时刻). 2.一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形 式.形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.注意:在建立曲线的参数方程时, 要注明参数及参数的取值范围. 3. 其 实 对 于 圆 的 参 数 方 程 的 形 式 完 全 可 以 和 同 一 个 角 的 三 角 函 数 之 间 的 关 系 sin2θ+cos2θ=1 来 类 比 考 虑 ， 进 行 换 元 即 可 得 到 相 应 圆 的 参 数 方 程 . 即 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ， 可 以 先 将 该 方 程 化 为 ( r ax  )2+( r by  )2=1 ， 然 后 令        ),(cossin ),(sincos   r by r ax 于 是 就 得 到 该 圆 的 参 数 方 程 为               cos ,sin sin ,cos rby rax rby rax 或 (θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，有多 种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去 参数转化为普通方程,从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑). 三、参数方程与普通方程的互化 1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数 方程得到普通方程.如果知道变数 x、y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普 通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么      )( ),( tgy xfx 就是曲线的参数方程. 2.在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参 数方程.这都是基于对曲线的更好的研究，有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要 直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地 解决.在将二者互化的过程中，要注意互化前后二者的等价性，注意其中的曲线上的点的横、 纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减少； 否则它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧途，不能真正解决问题(注意:不是所有 的参数方程都可以转化为普通方程).曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的 两种不同表现形式.在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质,就灵 活地选用相应曲线的对应方程形式. 3.值得注意的是,在曲线的参数方程与普通方程的互化中，必须使 x、y 的取值范围保持一致， 例如(1)      ty tx sin ,cos2 (t 为参数),通过消参数得到方程 y2=-(x-1)，而事实上由 x=cos2t 可知 0≤x≤1，而由 y2=-(x-1)可知其中 x≤1，显然两个范围不同，显然两个方程所表示的曲线 不是同一条曲线，可以说 y2=-(x-1)不是      ty tx sin ,cos2 的普通方程.故在消去参数的过程中一 定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线. 4.通过消去参数可以从参数方程得到普通方程,消去参数的方法主要有代入消参法、加减(或 乘除)消参法、平方消参法等;还有常用到三角公式,如 sin2θ+cos2θ=1 等. 例如,参数方程        sin3cos4 ,sin4cos3 y x (φ为参数)表示的图形是什么? 分析:由方程知,x2=9cos2φ+24sinφcosφ+16sin2φ, y2=16cos2φ-24sinφcosφ+9sin2φ. ∴x2+y2=25. 可知图形是圆. 活学巧用 【例 1】已知某条曲线 C 的参数方程为      2 ,21 aty tx (其中 t 是参数,a∈R)，点 M(5,4)在该曲 线上. (1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程. 解析: 本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点 M(5,4)在该曲线上，则点 M 的坐标应适合曲 线 C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程. 解:(1)由题意可知,有      ,4 ,521 2at t 故      .1 ,2 a t ∴a=1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为      , ,21 2ty tx 由第一个方程得 t= 2 1x ,代入第二个方程,得 y=( 2 1x )2,即(x-1)2=4y 为所求. 【例 2】 已知圆 x2+y2=1，点 A(1，0)，△ABC 内接于该圆，且∠BAC=60°，当 B、C 在圆上 运动时，求 BC 的中点的轨迹方程. 解析:本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标， 怎样比较巧妙地把相关点的坐标给表示出来，从而找到所要求的问题的解.显然借助于圆的 参数方程就容易将点 B、C 的坐标给表示出来，进而把其中的点的坐标给表示出来；然后通 过消去参数从而达到目的，之后还要注意其中的参数的取值范围. 解:如图(1)所示，M 为 BC 的中点， 由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°,(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2 倍) 在△BOC 中，OB=OC=1 OM= 2 1 .所以点 M 的轨迹方程为 x2+y2= 4 1 . (1) (2) 又因为 x≥ 4 1 时，如图(2), 虽然∠BOC=120°， 但∠BAC= 2 1 (360°-120°)=120°≠60°, 所以点 M 的轨迹方程为 x2+y2= 4 1 (x< 4 1 ),如图(2). 点评:本题主要容易忽视隐含的范围 x< 4 1 ，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很 多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点. 【 例 3 】 M 在 圆 x2+(y-r)2=r2 上 ,O 为 原 点 , 以 ∠MOx=φ 为 参 数 , 则 圆 的 参 数 方 程 为 _________. 解析:如图,|OM|=2rsinφ, ∴        2sin2 ,cossin2 ry rx (φ为参数). 答案:        2sin2 ,cossin2 ry rx (φ为参数) 【例 4】已知实数 x、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25，求 x2+y2 的最大值与最小值. 解析:这样的题目可考虑数形结合，把满足(x-1)2+(y-2)2=25 的 x、y 视为圆(x-1)2+(y-2)2=25 上的动点，待求的 x2+y2 可视为该圆上的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或 考虑利用圆的参数方程来求解. 解:实数 x、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25,可视为(x,y)是圆(x-1)2+(y-2)2=25 上的点，于是可利 用圆的参数方程来求解.设      ,sin52 ,cos51   y x 代入 x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+10 5 cos(θ+α), 从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为 30+10 5 ,30-10 5 . 点评:(1)像这样的问题,题目本身是以代数题的形式出现，而实际上在考虑相关问题时常常 应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍. (2)求最值问题,根据参数方程,利用三角变换知识求解是一常用的技巧. 【例 5】圆 M 的方程为 x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0). (1)求该圆圆心 M 的坐标以及圆 M 的半径； (2)当 R 固定，α变化时，求圆心 M 的轨迹，并证明此时不论α取什么值，所有的圆 M 都外 切于一个定圆. 解析:本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变，而 像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误. 解:(1)由题意得圆 M 的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2， 故圆心为 M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为 R. (2)当α变化时，圆心 M 的轨迹方程为      aRy aRx sin2 ,cos2 (其中α为参数)，两式平方相加得 x2+y2=4R2，所以圆心 M 的轨迹是圆心在原点，半径为 2R 的圆. 由于 22 )sin(2+)cos(2 aRaR =2R=3R-R， 22 )sin(2+)cos(2 aRaR =2R=R+R, 所以所有的圆 M 都和定圆 x2+y2=R2 外切，和定圆 x2+y2=9R2 内切. 点评:本题所给的方程中含有多个变数，看起来都可变，像这样的问题有时容易分不清楚哪 个是真正的参数.在具体题目中究竟哪个是真正的参数应视题目给定的条件，从而去分清参 数. 【例 6】将下列参数方程化为普通方程并说明它们分别表示怎样的曲线.      ty tx sin ,cos)1( 2 (t 为参数)；          2 2 2 1 2 ,1 1 )2( t ty t tx (t 为参数). 解:（1）由 x=cos2t=1-sin2t=1-y2,y2=-(x-1),由 x=cos2t 可知,0≤x≤1.故其普通方程为 y2=-(x-1)(0≤x≤1),它表示的是以点(1,0)为顶点、开口向左的一条抛物线上的一段. （ 2 ） 将 两 式 平 方 相 加 得 x2+y2=1, 由 x= 2 2 1 1 t t   =-1+21+t2 得 x≠-1, 故 其 普 通 方 程 为 x2+y2=1(x≠-1),它表示以原点为圆心、1 为半径的圆（除去与 x 轴相交的左交点）. 点评:本题所给的题目中所体现的方法都是常见的一些将曲线的参数方程化为普通方程的方 法,对于具体的将参数方程转化为普通方程的题目要视具体题目而去选择消去参数的方法, 如代入法、平方法、加减法等,有时还需多种方法并用.