2020学年高二数学上学期第二次段考（12月）试题 理 9页

‎2019学年上学期第二次段考 高二年级理科数学试题 ‎ ‎ 一、选择题（共12小题；共60分）‎ ‎1. 给定下列四个命题：‎ ‎ ①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎ ②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；‎ ‎ ③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；‎ ‎ ④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ ‎ 其中为真命题的是 ‎ ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎ ‎ ‎2. 已知直线 和平面 ，，，，，且 在 ， 内的射影分别为直线 和 ，则直线 和 的位置关系是 ‎ ‎ A. 相交或平行 B. 相交或异面 ‎ C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 ‎ ‎ ‎3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 设四边形 的两条对角线为 ，，则“四边形 为菱形”是“”的 ‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎5. 设入射光线沿直线 射向直线 ，则被 反射后，反射光线所在的直线方程是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 9‎ ‎7. 如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹为下图中的 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 双曲线 的两个焦点分别为 ，点 在双曲线上，且满足 ，则 的面积为 ‎ ‎ A. B. C.1 D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知球 的半径为 ，四点 ，，， 均在球 的表面上，且 ，，，则点 到平面 的距离为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 已知 是直线 上的动点，， 是圆 的切线，， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎11. 为正四面体 棱 的中点，平面 过点 ，且 ，，，则 ， 所成角的余弦值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 9‎ ‎12. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，，其焦距为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题（共4小题；共20分）‎ ‎13. 若命题” 使 ”是假命题，则实数 的取值范围为   .‎ ‎ ‎ ‎14. 如图所示，是一个由三根细铁杆 ，， 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是 ，一个半径为 的球放在支架上，则球心到 的距离为  ‎ ‎15. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线 与圆 相交于 ， 两点， 为弦 上一动点，若以 为圆心， 为半径的圆与圆 总有公共点，则实数 的取值范围为  ．‎ ‎ 16. 圆 经过椭圆 的两个焦点 ，，且与该椭圆有四个不同的交点，设 是其中的一个交点，若 的面积为 ，椭圆的长轴为 ，则  ．‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6小题；共70分）‎ ‎17. （10分）如图，三棱锥 中， 平面 ，．‎ ‎（1）求证： 平面 ；‎ ‎（2）若 ， 为 中点，求三棱锥 的体积．‎ ‎ ‎ ‎18. （12分）已知点 ，圆 ：．‎ ‎（1）求经过点 与圆 相切的直线方程；‎ ‎（2）若点 是圆 上的动点，求 的取值范围．‎ 9‎ ‎ ‎ ‎19. （12分）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为直角梯形，，，，点 ， 分别为 ， 的中点，．‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎20. （12分） 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 ，圆 的方程为 ．‎ ‎（1）求椭圆及圆 的方程：‎ ‎（2）过原点 作直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 被圆 截得的弦长．‎ ‎ ‎ ‎21. （12分）如图 ，， 分别是 ， 的中点，，，沿着 将 折起，记二面角 的度数为 ．‎ 9‎ ‎ ‎ ‎（1）当 时，即得到图 ，求二面角 的余弦值；‎ ‎（2）如图 中，若 ，求 的值．‎ ‎ ‎ ‎22. （12分）已知两点(-1,0)及(1,0)，点P在以为焦点的椭圆C上，且构成等差数列。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且,,求四边形面积的最大值。‎ 佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考 高二年级理科数学答案 一、选择题（共12小题，每题5分）：‎ ‎1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB ‎ 二、填空题（共4小题，每题5分）：‎ ‎13. 14., 15. 16.‎ 三、大题（共6小题，17题10分,18-22每题12分，总共70分）：‎ ‎17. (10分)（1） 在三棱锥 中， 平面 ，‎ 又 平面 ，． …………1分 ‎ 又 ，且 ， 平面 ． …………3分 ‎ ‎（2） 法一：由 平面 ，得 ，‎ 9‎ ‎ ， ． …………5分 ‎ ‎ 是 中点， ． …………6分 ‎ 由（1）知，， 三棱锥 的高 ， …………8分 ‎ 因此三棱锥 的体积为 ‎ …………10分 ‎ 法二：‎ 由 平面 知，平面 平面 ， …………4分 ‎ 又平面 平面 ，‎ 如图，过点 作 交 于点 ，‎ 则 平面 ，且 …………6分 ‎ 又 ，所以 …………7分 ‎ 三棱锥 的体积 …………10分 ‎ ‎18. （1） 由题意，所求直线的斜率存在． …………1分 ‎ 设切线方程为 ，即 ， …………2分 ‎ 所以圆心 到直线的距离为 ， …………3分 ‎ 所以 ，解得 ， …………4分 ‎ 所求直线方程为 或 ． …………6分 ‎ ‎      （2） 设点 ，‎ 所以 ，． …………8分 ‎ 所以 ． …………9分 ‎ 因为点 在圆上，所以 ，所以 ． …………10分 ‎ 又因为 ，所以 ， …………11分 ‎ 所以 ． …………12分 ‎ ‎19. （1） 取 中点 ，连接 ，，如图 ， ‎ 易知 ， …………2分 同理 ．，得，…………4分 又 ，，， ‎ 所以，． …………5分 9‎ 又 ，所以直线 ． …………6分 ‎ ‎（2） 解法一：连接 ，．如图 ，‎ 因为 ，，且 ，‎ 所以 ， ‎ 又 ，‎ 所以 ． ‎ 又因为 ，，，，‎ 所以 ，． …………8分 ‎ 过点 作 于点 ，连接 ，‎ 由 可知，． ‎ 所以直线 与平面 所成角为 ． …………10分 在直角三角形 中，求得 ，‎ 在直角三角形 中，求得 ，‎ 所以，． ……………12分 ‎20. （1） 设椭圆的焦距为 ，左、右焦点分别为 ，，由离心率为 ，‎ 可得 ，即 ，， ……………………1分 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 ‎ ， 即 ，‎ 所以 ，则 ，， ……………………3分 所以椭圆的方程为 ，圆 的方程为 ． …… ……5分 ‎（2）法一：由题意得 …… ……8分 所以 …… ……10分 ‎ …… ……12分 法二： ①当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切，‎ 不符合题意； ……………………………………6分 ‎② 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，‎ 由 可得 ，‎ 由条件可得 ，即 ， ………………………7分 设 ，，‎ 则 ，，‎ 9‎ ‎，， ‎ 而圆心 的坐标为 ，则 ，，‎ 所以 ， …………………8分 即 ， ‎ 所以 ， ‎ 解得 或 ， ………………………10分 当 时，在圆 中，令 可得 ，故直线 被圆 截得的弦长为 ；‎ 当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，‎ 故直线 被圆 截得的弦长为 ； ………………………11分 综上可知，直线 被圆 截得的弦长为 ． …………………………………12分 ‎21. （1） 因为 所以即为二面角 的平面角 ……………1分 当时，则 …………………2分 又，所以 ……………………………3分 过点 向 作垂线交 延长线于 ，连接 ， ‎ 则 为二面角 的平面角． ……………………………4分 设 ，，，‎ ‎，，． ……………………………6分 ‎（2） 过点 向 作垂线，垂足为 ， ‎ 由（1）知，即面，所以面 ……………………………7分 又面， ……………………………8分 因为 ， ……………………………9分 又面 有 ， ……………………………10分 因 为正三角形，‎ 故 ，则 ， ……………………………11分 而 ，故 ． ……………………………12分 ‎22.（1）依题意，设椭圆的方程为.因为构成等差数列，‎ 所以，所以 . ……………………2分 又因为，所以，所以椭圆的方程为. ……………………4分 9‎ ‎（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得 ‎ ‎ 由直线与椭圆仅有一个公共点知，()=0,‎ 化简得： ， ……5分 设,, ……6分 法1：当 时，设直线的倾斜角为，则 ‎=, 所以 ‎ ‎……8分 因为，所以当时，，‎ ‎,. ………………10分 当时，四边形是矩形，. ………………11分 所以四边形面积 的最大值为. ………………12分 ‎ 法2：因为,‎ ‎, ………………8分 所以。 ‎ 四边形的面积 ………………10 分 ‎ ‎ 当且仅当时，，，所以.‎ 所以四边形的面积 的最大值为. …………………12分 ‎ 9‎