高中数学必修1教案第一章 1_2_1函数及其表示 9页

‎1．2　函数及其表示 ‎1．2.1　函数的概念 ‎[学习目标]　1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎2．反比例函数y＝(k≠0)在x＝0时无意义．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．函数的概念 ‎(1)函数的定义：‎ 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.‎ ‎(2)函数的定义域与值域：‎ 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．‎ ‎2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)‎ 定义 名称 符号 数轴表示 ‎{x|a≤x≤b}‎ 闭区间 ‎[a，b]‎ ‎{x|a＜x＜b}‎ 开区间 ‎(a，b)‎ ‎{x|a≤x＜b}‎ 半开半闭区间 ‎[a，b)‎ ‎{x|a＜x≤b}‎ 半开半闭区间 ‎(a，b]‎ ‎3.其他区间的表示 定义 R ‎{x|x≥a}‎ ‎{x|x＞a}‎ ‎{x|x≤a}‎ ‎{x|x＜a}‎ 符号 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎[a，＋∞)‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，a]‎ ‎(－∞，a)‎ ‎4.函数相等 如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等．‎ 要点一　函数概念的应用 例1　设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性．④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．‎ 规律方法　1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．‎ 注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．‎ ‎2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．‎ 跟踪演练1　下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)‎ A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1‎ B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：‎ C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 答案　B 解析　对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．‎ 要点二　求函数的定义域 例2　求下列函数的定义域：‎ ‎(1)y＝－；‎ ‎(2)y＝.‎ 解　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 即 所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．‎ ‎(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，‎ ‎∴x＜0.‎ ‎∴函数的定义域为{x|x＜0}．‎ 规律方法　1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．‎ ‎2．求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．‎ 跟踪演练2　(1)y＝ ‎(2)y＝－＋.‎ 解　(1)由于00无意义，‎ 故x＋1≠0，即x≠－1.‎ 又x＋2>0，x>－2，‎ 所以x>－2且x≠－1.‎ 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}．‎ ‎(2)要使函数有意义，需 解得－≤x<2，且x≠0，‎ 所以函数y＝－＋的定义域为 要点三　求函数值 例3　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．‎ ‎(1)求f(2)，g(2)的值；‎ ‎(2)求f[g(3)]的值．‎ 解　(1)∵f(x)＝，‎ ‎∴f(2)＝＝.‎ 又∵g(x)＝x2＋2，‎ ‎∴g(2)＝22＋2＝6.‎ ‎(2)∵g(3)＝32＋2＝11，‎ ‎∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.‎ 规律方法　求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别．‎ 跟踪演练3　已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]．‎ 解　∵f(x)＝，‎ ‎∴(1)f(2)＝＝.‎ ‎(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.‎ ‎1．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)‎ 答案　B 解析　根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确．‎ ‎2．函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．[1,2) D．[1，＋∞)‎ 答案　A 解析　由题意可知，要使函数有意义，需满足即x≥1且x≠2.‎ ‎3．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．10‎ 答案　C 解析　f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.‎ ‎4．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)‎ A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1‎ C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2‎ D．f(x)＝和g(x)＝ 答案　D 解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.‎ ‎5．集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________．‎ 答案　[－1,0)∪(1,2]‎ 解析　结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．‎ ‎1.对函数相等的概念的理解：‎ ‎(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．‎ ‎(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．‎ ‎2．区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合．如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式．‎ 一、基础达标 ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 答案　C 解析　根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调集合A中元素的任意性和集合B中对应元素的唯一性，所以集合A中的多个元素可以对应集合B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→，x∈A，还可以是x→x2，x∈A.‎ ‎2．函数y＝＋的定义域是(　　)‎ A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}‎ C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}‎ 答案　D 解析　由得0≤x≤1.‎ ‎3．下列函数完全相同的是(　　)‎ A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2‎ B．f(x)＝|x|，g(x)＝ C．f(x)＝|x|，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x＋3‎ 答案　B 解析　A、C、D的定义域均不同．‎ ‎4．函数y＝的值域为(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)‎ C．(－∞，0] D．(－∞，－1]‎ 答案　B 解析　由于≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．‎ ‎5．已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于(　　)‎ A．2x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．1‎ 答案　C 解析　f(x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1.‎ ‎6．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.‎ ‎7．求下列函数的定义域：‎ ‎(1)f(x)＝；‎ ‎(2)y＝＋；‎ ‎(3)y＝2x＋3；‎ ‎(4)y＝.‎ 解　(1)要使函数有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．‎ ‎(2)要使函数有意义，则即 所以x2＝1，从而函数的定义域为{x|x＝±1}＝{1，－1}．‎ ‎(3)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．‎ ‎(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以原函数的定义域是{x|x∈R，且x≠±1}．‎ 二、能力提升 ‎8．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)‎ A．f(x)＝x－1与g(x)＝ B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝x与g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝x＋2‎ 答案　C 解析　A选项中，f(x)与g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B、D选项中，f(x)与g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数．‎ ‎9．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．‎ 答案　(0,2)‎ 解析　由题意知 即∴0＜x＜2.‎ ‎10．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g[f(2)]＝________. ‎ 答案　 解析　∵f(2)＝2×22＋2＝10，‎ ‎∴g[f(2)]＝g(10)＝＝.‎ ‎11．已知f(x)＝(x≠－2，且x∈R)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．‎ ‎(1)求f(2)，g(1)的值；‎ ‎(2)求f(g(2))的值；‎ ‎(3)求f(x)，g(x)的值域．‎ 解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；‎ 又∵g(x)＝x2＋1，∴g(1)＝12＋1＝2.‎ ‎(2)f[g(2)]＝f(22＋1)＝f(5)＝＝.‎ ‎(3)f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠－2}，‎ 由函数图象知y≠0，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ g(x)＝x2＋1的定义域是R，‎ 由二次函数图象知最小值为1.‎ ‎∴值域是[1，＋∞)．‎ 三、探究与创新 ‎12．若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．‎ 解　由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足即 解得－3≤x≤3.‎ 所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．‎ ‎13．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；‎ ‎(2)求证f(x)＋f是定值．‎ ‎(1)解　∵f(x)＝，‎ ‎∴f(2)＋f＝＋＝1.‎ f(3)＋f＝＋＝1.‎ ‎(2)证明　f(x)＋f＝＋ ‎＝＋＝＝1.‎