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- 2021-06-10 发布
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3.2.1 几类不同增长的函数模型(教学设计)
教学目标:
知识与技能:结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.
过程与方法:能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,
初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),
了解函数模型的广泛应用.
情感、态度、价值观:体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现
实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
教学重点:
重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.
一、新课导入:
材料:澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有
人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子
们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧
草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔
子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.
二、师生互动,新课讲解:
例 1(课本 P95 例 1),假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报 40 元;
方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元;
方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
探究:
1)在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系?
2)分析解答(略)(见 P95--97)
3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?
例 2:(课本 P97 例 2)某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利
润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但奖金
不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型:
xy 25.0 1log7 xy xy 002.1 .问:其中哪个模型能符合公司的要求?
探究:
1)本例涉及了哪几类函数模型?
2)本例的实质是什么?
3)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗?
解答:(课本 P97—98)
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析:
你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函数 )0( nxy n
、指 数函数 )1( aay x
、对数函数
)1(log axy a 在区间 ),0( 上的增长差异,并进行交流、讨论、概括总结。
课堂练习:(课本 P98 练习 NO:1;2)
例 3.某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租 金,如果每
间客房每日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租
金总收入最高?
探索:
1) 本例涉及到哪些数量关系?
2) 应用如何选取变量,其取值范围又如何?
3) 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系?
4) “总收入最高”的数学含义如何理解?
[略解:]
设客房日租金每间提高 x 个 2 元,则每天客房出租数为 300-10 x ,
由 x >0,且 300-10 x >0 得:0< x <30
设客房租金总收入元,则有:老派
)10300)(220( xxy
8000)10(20 2 x (0< x <30)
由二次函数性质可知当 x =10 时, y max=8000.
所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元.
三、课堂小结,巩固反思
三种函数模型的性质
函数
性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减
性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随 x 的增大逐渐变
“陡”
随 x 的增大逐渐趋于稳
定 随 n 值而不同
四、布置作业:
A 组:
1、 一公顷地等于一百五十亩,某外资企业在 A 开发区租借 x 公顷,则合多少亩地?
解答:设 x 公顷合 y 亩地,则有函数关系
y=150x(x>0)
评注:这是一个常规的换算问题,而在我们所学的内容中恰好是一个函数问题,由此可以理解很多换算问题都是
一种常规的函数关系。
2、某国际快递公司从上海到纽约的一次快递业务报价为:
物资 快递价格(人民币)
不超出 10 公斤 200(元)
超出 10 公斤,不超出 20 公斤 350(元)
超出 20 公斤,不超出 40 公斤 500(元)
40 公斤以上 每增加一公斤加费 10 元
(1) 写出快递价格 y 与快递物资 x 的函数关系式;
(2) 某人需要快递 50 公斤物资,他用一次快递便宜还是分两次快递(一次 20 公斤,一次 30 公斤)便宜?
解:(1) 200 0<x≤10 y 的单位元
y=f(x)= 350 10<x≤20 x 的单位:公斤
500 20<x≤40
500+10(x-40) 40<x
(2) 一次快递的费用为:y1=500+40(50-40)=600(元)
二次快递的费用为:y2=350+500=850(元)
答:一次快递费用便宜。
评注:这是一个分段函数的典型实例,在建立数学模型的基础上可以用来怎样合理使用运输方法。
3、将 20 米长的一段篱笆沿墙围成三个大小相同的矩形猪窝(如图),用怎样围法面积最大?
x
解:设猪舍的一边长为 x,则另一边为 20 4
3
x
∴ 面积为 2 220 4 53 4 20 4( ) 253 2
xS x x x x (0<x<5)
∴ 当 x=2.5 米时,面积 Smax=25(米 2)
答:当一间猪舍的一边长为 2.5 米,另一边为10
3
米时,面积最大。
评注:二次函数的最值是一个重要问题,而在求最值之前有一个二次函数的模型建立问题,在模型建立中,一定
要对各种因素思考完整。
4、已知函数图象(如图)中 A(0, 4)、B(-2, 0)、C(1, 1)、D(2, 0)(均为线段)
(1) 写出函数在[-2, 3]上的表达式;
(2) 写出函数的增区间;
(3) 出函数的最大或最小值。
解:(1) 2 4 2 0
1 | 1| 0 3
x xy x x
A
(2) 函数分别在[-2, 0),[0, 1]上为增函数。 C
(3) 函数当x=3 时取最小值-1,无最大值。 B D
E
评注:这是一个图形与函数关系的问题,在这里要注意[-2, 1]不是它的单调区间,并注意 4 不是它的最大值,
而只是一个上限。
5、商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送
一个茶杯;(2)按总价的 92%付款.顾客只能任选其一.某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯
数为 x 个,付款数为 y(元),试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论两种办法哪一种更省钱.
解 由优惠办法(1)可得函数关系式为
y1=20×4+(x-4)×5=5x+60 (x≥4);
由优惠办法(2)得:
y2=4×20×0.92+x×5×0.92=4.6x+73.6 (x≥4)
当购买 34 只茶杯时,两办法付款相同;
当 4≤x<34 时,y134 时,y1>y2,优惠办法(2)省钱.
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