高中数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间 20页

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 （ 2 ）异面直线所成角 Yesterday once more 公理 1 ： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 公理 2 ： 过＿＿＿＿＿＿＿ 的三点 ，有且只有一个平面。 推论 1 ： 经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，有且只有一个平面。 推论 2 ： 经过＿＿＿＿ 直线 ，有且只有一个平面。 推论 3 ： 经过＿＿＿＿ 直线 ，有且只有一个平面。 这条直线在此平面内 不在一条直线上 一条直线和这条直线外一点 两条相交 两条平行 公理 3 ： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。 公理 4 ： ＿＿＿＿＿＿＿＿ 两条直线互相平行。 空间中直线与直线的位置关系： 有且只有一条过该点的公共直线 平行于同一直线的 位置关系 公共点个数 是否共面 相 交 平 行 异 面 没有 只有一个 没有 共面 不共面 共面 学习目标 1 、熟练空间两条直线的位置关系； 2 、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角； 3 、掌握等角定理及其应用。 重点： 异面直线所成角的概念。 难点： 异面直线所成角的定义的理解。 抛砖引玉 在平面内，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？ 抛砖引玉 在空间中， 如果两个角的两边分别对应平行， 结论是否仍然成立呢 ? 1 、等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补 。 【 定理的推论 】 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 , 那么这两条直线所成的 锐角 ( 或直角 ) 相等。 平面内，两条直线相交成 4 个角，其中 锐角（或直角） 称为它们的 夹角 。 夹角 刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度。 那么，两条异面直线之间的夹角是怎样的呢？ a b 自主学习 （ 3min ） 阅读教材 P46—47 ，回答下列几个问题： 1 、什么叫两条异面直线所成的角？ 2 、两条异面直线所成角的范围？ 3 、两条空间直线互相垂直的定义及表示方法？ 2 、异面直线所成角： a b o b ' a ' 如图，已知两条异面直线 a ， b ，经过空间任一点 O 作直线 a'∥a ， b'∥b ，我们把 a' 与 b' 所成的 锐角（或直角） 叫做 异面直线 a ， b 所成的角（或夹角） 。 平移 学生展示 举一反三 a' 与 b' 所成角的大小与点 O 的位置有关吗？ 为了简便，点 O 通常取在两条异面直线中的一条上。 异面直线所成角的实质： 异面直线经过 平移 到 相交 位置所成角。 空间图形 平面图形 O 3 、异面直线所成角的范围： 如果两条异面直线所成的角是 直角， 那么我们就说这两条直线 互相垂直 。 两条互相垂直的异面直线 a 、 b ，记作 a⊥b 。 我们规定： 两条平行直线的夹角为＿ 。 那么，两条异面直线所成的角的取值范围是： 0° O α 看图说话 1 (1) 长方体 ABCD-A′B′C′D′ 中，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线 ? (2) 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ (3) 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ B A D C A ' B ' D ' C ' 精讲点拨 【 例 】 如图 ，在 正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中： (1) 哪些棱所在的直线与直线 AA′ 垂直？ (2) 哪些棱所在的直线与直线 A′B 垂直？ (3) 直线 A′B 和 CC′ 所成角是多少？ A′ B′ C′ D′ A B C D (3) ∵ BB ′ ∥ CC ′ ， ∴∠ B ′ BA ′ 就是 异 面 直线 A ′ B 与 CC ′ 所成角 , ∴ 异 面 直线 A ′ B 与 CC ′ 所成角是 45 0 。 解： ( 1 ) 直线 AB , BC , CD , DA , A ′ B ′ , B ′ C ′, C ′ D ′, D ′ A ′ 与直线 AA ′ 都垂直 . ( 2 ) 直线 AD , BC , B ′ C ′ , A ′ D ′ 与直线 A ′ B 都垂直 . 求异面直线夹角的一般步骤是：“作 — 证 — 算 — 答”  2 、如 图，已知正方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′   ，求异面 直线 A ′ B 和 AC 所 成的角。 追踪训练 A′ B′ C′ D′ A B C D 60 0 3 、已知 长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是边长为 4 的正方形，高为 2 ，点 E 、 F 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，求异面直线 EF 与 AD 1 所成角的余弦值。 B A C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 提升训练 合作交流 A F E D C B M 4 、 在四面体 ABCD 中， E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 中点，已知 AB=4 ， CD=2 ， EF= ，求异面直线 AB 和 CD 所成的角。 60 0 4 、 在四面体 ABCD 中， E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 上的点，且 ，已知 AB=CD=3 ， EF= ，求异面直线 AB 和 CD 所成的角。 合作交流 A F E D C B M 60 0 知识盘点 1 、等角定理； 2 、异面直线夹角的概念； 3 、求异面直线的夹角的一般步骤是： “作 — 证 — 算 — 答” 课后作业 写本上： 教材 P48— 练习 2 ； 写书上： 教材 P48— 练习 1 教材 P51— 习题 A 组 3 ， 4