专题64 古典概型-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 17页

专题64古典概型 最新考纲 ‎1.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】基本事件与古典概型的判断 ‎【典型例题】‎ 先后拋掷两枚质地均匀的硬币，出现等可能的结果有（　　）‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ‎【解答】解：先后拋掷两枚质地均匀的硬币，‎ 出现等可能的结果有：（正正），（反反）和（正反），（反正）这两种．‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 下列随机试验的数学模型属于古典概型的是（　　）‎ A．在适宜条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽 ‎ B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点 ‎ C．某射击运动员射击一次，试验结果为命中0环，1环，2环，…，10环 ‎ D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会 ‎【解答】解：由古典概型的特征：有限性和等可能性知，‎ 选项A、C不符合等可能性，选项B不符合有限性，‎ 故选：D． 思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．‎ ‎【题型二】古典概型的求法 ‎【典型例题】‎ 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．‎ 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，‎ 基本事件总数n720，‎ 满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：‎ 第一节是数，有：36种排法，‎ 第二节是数，有：84种排法，‎ ‎∴m＝36+84＝120，‎ 则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率．‎ ‎【解答】解：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，‎ ‎“从中取出2粒都是白子”为事件B，‎ ‎“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，…‎ 则C＝A∪B，且事件A与B互斥…‎ 所以P（C）＝P（A）+P（B）．‎ 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为．… 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．‎ ‎【题型三】古典概型与统计的综合应用 ‎【典型例题】‎ 某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时 从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．‎ 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 ‎7日 ‎8日 ‎9日 ‎10日 甲维修的元件数 ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4‎ 乙维修的元件数 ‎4‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（Ⅰ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；‎ ‎（Ⅱ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．（只需写出结论）；‎ ‎（Ⅲ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于‎5”‎．‎ 根据题意，． ……………………………………………………．‎ ‎（Ⅱ）．……………………．‎ ‎（Ⅲ）设增加工人后有n名工人．‎ 因为每天维修的元件的平均数为：‎ ‎．‎ 所以这n名工人每天维修的元件的平均数为．‎ 令．解得．所以n的最小值为4．‎ 为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．………． 【再练一题】‎ 某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．‎ ‎（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？‎ ‎（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．‎ ‎（ i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ ii）设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．‎ ‎【解答】解：（ I）设高一参加会议的同学x名，‎ 由已知得：，解得x＝5∴高一参加会议的同学5名，‎ ‎（II）（ i）由已知，高二抽取人，高三抽取人，‎ 设高二的4人分别表示为A，B，C，D，高三的3人分别表示为E，F，G 则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}{D，E}，{D，F}，{D，G}{E，F}，{E，G}{F，G}共21种．‎ ‎（ ii）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}{E，F}，{E，G}，{F，G}共9种 所以事件M发生的概率为， 思维升华 ‎ 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．‎ 基础知识训练 ‎1．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+‎2”‎模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解:由题意可知总共情况为，满足情况为，‎ 该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选B.‎ ‎2．一个袋中装有大小相同的黑球和白球共6个，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球，则得到的都是白球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知：黑球有：个，则白球有个 所求概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎3．从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，则选中人都是女同学的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设名男生为，名女生为，则任选人的选法有：‎ ‎，共种，‎ 其中全是女生的选法有：，共种.‎ 故选中的人都是女同学的概率.‎ 故选A.‎ ‎4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 .‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有种 能组成“中国梦” 的只有种，故所求概率为 本题正确选项：‎ ‎5．某科室有10位科员，其中男女各5名，今有这个科室的一位科员在街上碰到一位同科室的科员，则碰到异性科员的概率与碰到同性科员的概率的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，不妨设这个科室的一位科员为男科员，‎ 则这位男科员碰到异性科员的概率，碰到同性科员的概率，‎ 所以，故选B.‎ ‎6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 所有“重卦”共有：种；恰有个阳爻的情况有：种 恰有个阳爻的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎7．从集合的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合的子集个数为，集合的子集个数为，‎ 因此，所求概率为，故选：C。‎ ‎8．将5本不同的书全发给3名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 将5本不同的书发给3名同学共有种结果．将5本书分为或两种情况后再分给3名同学可保证每人至少1本，此时共有种情况．‎ 由古典概型概率公式可得所求概率为．‎ 故选A．‎ ‎9．若是从集合中随机选取的两个不同元素，则使得函数是奇函数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 从集合中随机选取的两个不同元素共有 种 要使得函数是奇函数，必须都为奇数共有 种 则函数是奇函数的概率为 ‎ 故选B ‎10．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，‎ 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：，‎ 故选：C．‎ ‎11．如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：‎ ‎109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532， 307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，‎ 其中奇数有20个，‎ ‎∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为.‎ 故选：C．‎ ‎12．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有种，而相克的有5中情况，‎ 则抽取的两种物质相克的概率是，‎ 故抽取的两种物质不相克的概率是，故选A．‎ ‎13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设为“取出的两个小球编号相同”，‎ 从两个袋中各取出1球，共有种取法，取出的两个小球编号相同，共有种取法，‎ 故.‎ ‎14．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 从名教师中选派名共有：种选法 名男教师参加培训有种选法 所求概率：‎ 本题正确结果：‎ ‎15．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.‎ 所以本题答案为15.‎ ‎16．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0～9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中目标，5，6，7，8，9表示未命中目标，以5个随机数为1组，代表射击5次的结果，经随机模拟产生10组如下随机数：‎ ‎74253 02951 40722 98574 69471 46982 03714 26162 95674 42813‎ 根据以上数据估计该运动员射击5次至少击中目标3次的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 观察可知：，，，，，满足题意 故所求概率：‎ 本题正确结果：‎ ‎17．若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 记事件为：“选出的志愿者中男女生均不少于1名”‎ 则： ‎ 本题正确结果：‎ ‎18．‎ 博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321‎ 方案一坐车可能：132、213、231，所以，；‎ 方案二坐车可能：312、321，所以，；‎ 所以，‎ 答案：‎ ‎19．从二项式的展开式各项中随机选两项，选得的两项均是有理项的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 二项式的展开式的通项为：‎ ‎，‎ 令，，‎ 则或3或6时为有理项，‎ 所以从二项式的展开式各项中随机选两项有种选法，‎ 其中有理项有种，‎ 所以选得的两项均是有理项的概率是，‎ 故答案为．‎ ‎20．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种结果，‎ 所以根据等可能事件的概率得到 ‎21．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】‎ 最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有种，故所求概率为.‎ ‎22．如图，⊙O的半径为，六边形是⊙O的内接正六边形，从六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在、、、、、中任取两点的所有线段有：、、、、、、、、、、、、、、，共条，‎ 其中长度为的线段有：、、、、、，共条，‎ 由古典概型的概率公式可知，线段的长为的概率是，故答案为：。‎ 能力提升训练 ‎1．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 从黄、白、蓝、红种颜色中任意选种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共种.其中包含白色的有种，选中白色的概率为，‎ 故选B.‎ ‎2．已知点，且，使关于的方程有实数解的点的概率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以得到点P共有个.因为方程有实数解，所以，，即，当取(1,2)，(2,1)，(2,2)时；‎ 又时原方程为有解，所以方程有实数解的点的概率为，‎ 故选B.‎ ‎3．从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于的概率为 ,则（ ）‎ A．10 B．‎9 ‎C．8 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：从个正整数中任意取出两个不同的数共有取法，‎ 其中两数之和为7的取法为：（1,6），（2,5），（3,4）共3种，‎ 故两数之和等于的概率为 所以 解得：，故选A。‎ ‎4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家 基本事件总数：‎ 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：‎ 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎5．学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 小芳和小敏报名方法共有种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有种，因此所求概率为，选B.‎ ‎6．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所有的基本事件可能如下：‎ 共有36种，点数之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3种，所求概率为：P＝.‎ 故答案为：‎ ‎7．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设个白球编号为：；个黑球为：‎ 从中任取两个球的所有可能结果为：、、、、、、、、、，共种 所取的两个球不同色的有：、、、，共种 所求概率为：‎ 本题正确结果：‎ ‎8．现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数，‎ 和是偶数包含的基本事件的个数，则和是偶数的概率为 ．‎ 故答案为：．‎ ‎9．2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设甲为，乙为，另外两名志愿者为.将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：‎ 场馆1‎ 场馆2‎ ‎12（甲乙一起）‎ ‎34‎ ‎13‎ ‎24‎ ‎14‎ ‎23‎ ‎23‎ ‎14‎ ‎24‎ ‎13‎ ‎34‎ ‎12（甲乙一起）‎ 共种，其中甲乙一起的有种，故概率为.‎ ‎10．将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 骰子扔两次所有可能的结果有：种 两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种 两次数字之和为偶数的概率 本题正确结果： ‎