2019届四川省遂宁市高中高三上学期第一次诊断性考试 数学（理）（PDF版） 6页

书书书 数学!理工类"试题第!!!!! 页!共"页" 秘密" 启用前!考试时间"!"#$年#月$日#%&""!#'&""# 遂宁市高中!"#$级第一次诊断性考试数!学!理工类" !考试时间"#!"分钟!试卷满分"#%"分# 注意事项" #(答卷前$考生务必将自己的姓名%准考证号填写在答题卡上& !(回答选择题时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑&如 需改动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号&回答非选择题时$将答案写在答题卡上& 写在本试卷上无效& )(考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回& 一$选择题"本题共#!小题%每小题%分%共*"分&在每小题给出的四个选项中%只有一项是 符合题目要求的& #!复数"+),-. )/-.!.为虚数单位"在复平面内对应的点所在象限为!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 0!第一象限 1!第二象限 2!第三象限 3!第四象限 !!已知!# " !#! "" #4.5!+) %#则4.5 " -/! "! + 0!,槡! #" 1!,槡! % 2!槡! #" 3!槡' ! #" )!已知集合#+ $$678!$%$ %! #%+!,9#&"#则&&&%'是&#'%'的 0!必要不充分条件 1!充分不必要条件 2!充分必要条件 3!既不充分又不必要条件 -!中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理#而且很早就尝试 对勾股定理进行证明!三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅&赵爽弦 图'#用形数结合的方法#给出了勾股定理的详细证明!在&赵爽弦图' 中#以弦为边长得到的正方形由-个全等的直角三角形再加上中间的 那个小正方形组成!如图#正方形#%'( 是某大厅按&赵爽弦图'设计铺设的地板砖#已知-个直角三角形的两直角边分别为&+)":;#)+-":;!若某小物体 落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的#则该小物体落在中间小正方形中的概率是 0!# #! 1!# !% 2!* !% 3!!- !% %!下列函数中#在区间!"#/9"上为增函数的是 0!*+# $ 1!*+!,$ 2!*+$/:74$ 3!*+$),)$ *!执行右图所示的程序框图#则输出的+的值为 0!' 1!< 2!$ 3!#" '!%名学生站成一排#若学生甲不站两端#则不同站法共有 0!!-种 1!)*种 2!-<种 3!'!种 !$/!$!>$ 与5!$"+&+>$ ,#有两个不同的公共点#则& 的取值范围是 !!!! 三$解答题"共'"分&解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤&第#'!!#题为必考题% 每个试题考生都必须作答&第!!$!)题为选考题%考生依据要求作答& '一(必考题"共*"分& #'!!本小题满分#!分" 设数列$&-%的前-项和为6-#且6-+#-!,#*-/,! !#"当#+!时#求通项公式&-, !!"设$&-%的各项为正#当,+#%时#求#的取值范围! #$,#,#"恒成立#求实数, 的取值范围! '二(选考题"共#"分&请考生在第!!$!)题中任选一题作答%如果多做%则按所做的第 一题记分& !!!(选修-,-*坐标系与参数方程)!本小题满分#"分" 在直角坐标系$0* 中#曲线'# 的参数方程为$+!/:# *+) / 0 1 : !:#%"!以坐标原点为极点#$ 轴 正半轴为极轴建立极坐标系#曲线'! 的极坐标方程为$+!:74%/-4.5%! !#"求'# 的普通方程#'! 的直角坐标方程, !!"曲线'# 与'! 交于点;#<#求$;<$的值! !)!(选修-,%*不等式选讲)!本小题满分#"分" 已知函数4!$"+!$$$/$$,!$! !#"解不等式4!$"%-, !!"设函数4!$"的最小值为,#若实数&#)满足&!/)!+,!#求- &!/ # )!/#最小值! 数学!理工类"试题第$ 页!共"页" 书书书 数学!理工类"试题答案第!!!!! 页!共"页" 遂宁市高中!"#$级第一次诊断性考试 数学!理工类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" !!&!#!'!$!(!%!(!)!&!*!&!+!,!-!'!.!(!!/!(!!!!&!!#!, !$!!!*!!!%!)!!!)!槡# # !!!*!!##01" !+!解$!!"当!2#时#"!23!%0## #分…………………………………………………………… $%2#%#3!*%0##则$%3!2#%#3#/%0!-0#!%"#"! 所以"%2$%3$%3!2%%3!-!%"#"! )分……………………………………………………… 所以"%2 3!%0##%2!# %%3!-#%"# # $ % ! *分………………………………………………………………… !#"由#2!)#当%2!时#"!2$!2!3!% +分………………………………………………… 当%"#时#"%2$%3$%3!2#!%3!3!*# -分…………………………………………………… 由数列&"%'的各项为正#则 !3!&/# #!&/# #!4#3!3!*&/ # $ % # 由此可知!&!* $! 所以!的取值范围为!!&!*& '$ ! !#分………………………………………………………… !-!解$!!"由"567&2!#'3("567) 得"567&0(567)2#'567)# 根据正弦定理有789)567&0567)789&2#789*567)# #分…………………………………… 所以789!)0&"2#789*567) 即789*2#789*567)# 因为789*'/#所以567)2! ## 所以)2! $! *分………………………………………………………………………………… 数学!理工类"试题答案第#!!!! 页!共"页" !#"因为$()&* 2! #)+(&*2! #('789) 由&*2*#)2! $#所以$)+2槡$ %(' 所以)+2槡$ !#('# -分……………………………………………………………………………… 由余弦定理得$*2(#0'# 3#('567! $ 2(# 0'# 3('"#('3('2('!当且仅当(2'时等号成 立"# 所以/)('*$*# 所以/))+* 槡$ $! !#分………………………………………………………………………… !.!解$!!"由题!/://)0"0(0/:/$)0/:/#-"4!/2!# 于是"0(2/:/$##"2$(# 解得"2/:/#%#(2/://-! %分…………………………………………………………………… !#"学生得分在)./#!//*内有!//4/://-4!/2-人# 于是该组中男生)人#女生$人! )分…………………………………………………………… 则, 的值可以为/#!###$! -!,2/"2*% )*/ $ *% - 2) +/#-!,2!"2*$ )*! $ *% - 2$/ +/# -!,2#"2*# )*# $ *% - 2$/ +/#-!,2$"2*! )*$ $ *% - 2) +/! .分…………………………………………… 则, 分布列如下$ , / ! # $ - ) +/ $/ +/ $/ +/ ) +/ ! !/分……………… 所以, 的期望.!,"2/4) +/0!4$/ +/0#4$/ +/0$4) +/2$ #! !#分…………………………… #/!解$!!"根据表中数据#销售单价每增加!百元#日销售量就减少!/件#所以销售单价和日销 售量为一次函数的关系#故设/!0"2100(# 由%10(2!!/# )10(2!// # $ % # 解得123!/# (2!)/ # $ % ! 即/!0"23!/00!)/# %分………………………………… 又根据表中数据#日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数./#考虑其为一个反比例函数 关系#设2!3"2# 3 #由题可得#2./! 于是2!3"2./ 3 ! *分……………………………………………………………………………… !#"由!)/3!/0&/# 0& # $ % / 得/)0)!)!设单件产品的利润为- 百元# 数学!理工类"试题答案第$!!!! 页!共"页" 则-203!2!3"0$"203 ./ /!0"3$203 ./ !)/3!/03$203 . !)303$# -分……………… 因为/)0)!)#所以!)30&/#所以-23 !)300 . !)3! 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"! % # 0+ -&/#所以/4!0"&/! 所以/!0"在定义域!/#01"内单调递增! %分………………………………………………… !#"由!!"#得/!0"20#300>90# 令5!0"2#!?03!3!"3/!0"2#!?03!3!"30#003>90# 则54!0"2#?03!3#00!3! 0#注意到5!!"2/#54!!"2#3## *分………………………… 要使得任意的0+!!#01"#/!0"*#!?03!3!"#即5!0""/# 则必有54!0"在!!#!0""!其中"为任意小的正数"大于/#亦有54!!""/#所以#"#! 当#"#时#令6!0"254!0"2#?03!3#00!3! 0# 64!0"2#?03!3#0! 0#&#?03!3#&/# 所以6!0"在0+!!#01"时单调递增#则54!0"&54!!""/# 所以5!0"单调递增#则5!0"&5!!"2/# -分………………………………………………… 当/)#)#时#54!!"2#3#)/#当0 趋近于01时#54!0"趋近于01# 则54!0"2/在0+!!#01"必有实数根#设最小的正数根为0/# 则当0+!!#0/"时#54!0")/#所以5!0"单调递减#则5!0")5!!"2/#与题设不符! !/分 ……… …………………………………………………………………………………………… 当#*/时#54!0"2#?03!3#00!3! 0)/#则5!0"单减#5!0")5!!"2/#与题设不符! 综上所述## 的取值范围是)##01"! !#分…………………………………………………… 数学!理工类"试题答案第"!!!! 页!共"页" 选考题"!/分# ##!解$!!"*! 的普通方程为$$0333*2/% #分…………………………………………………… *# 的直角坐标方程为0#03#3#03%32/! )分……………………………………………… !#"解法一$由!!"#*# 的方程可化为$!03!"#0!33#"#2)! 即*# 是圆心为!!##"#半径7 槡2 )的圆! 又圆心到直线*! 的距离为22 槡!/ # # -分……………………………………………………… 故,89,2# 7#32槡 # 2# )3槡) # 槡2 !/! !/分……………………………………………… 解法二$将*! 的参数方程可化为 02#0 :槡!/ # 32 $:槡!/ # $ % # 代入*# 的方程0#03#3#03%32/#化简整理#得 :# 槡3 !/:2/#所以:!2/#:# 槡2 !/#从而,89,2,:!3:#, 槡2 !/! !/分…………………… #$!解$!!"当0)/时#则/!0"23$00#*%#解得3# $*0)/% !分…………………………… 当/*0*#时#则/!0"200#*%#解得/*0*#% #分……………………………………… 当0&#时#则/!0"2$03#*%#此时无解! $分……………………………………………… 综上#不等式/!0"*%的解集为0 3# $*0*& '# ! %分……………………………………… !#"由!!"知#当0)/时#/!0"23$00#&#%当/*0*#时#则/!0"200#"#%当0&#时# 则/!0"2$03#&%#故函数/!0"的最小值为## 所以#2##即"#0(#2%! *分…………………………………………………………………… 则% "# 0 ! (#0!2! )!"#0(#0!" % "# 0 ! (#! "0! +分………………………………………………… 2! ) )0%!(#0!" "# 0 "# (#) *0! "! ) )0# %!(#0!" "# ( "# (#槡! "0! ". )# .分……………………… 当且仅当%!(#0!" "# 2 "# (#0!且"#0(#2%#即"#2!/ $#(#2# $取等号! 所以% "# 0 ! (#0!最小值为. )! !/分………………………………………………………………