【数学】2021届一轮复习北师大版（理）38基本不等式作业 9页

基本不等式 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是(　　)‎ A．若a，b∈R，则＋≥2＝2‎ B．若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2 C．若x＜0，则x＋≥2＝－4‎ D．若x＜0，则2x＋2－x＞2＝2‎ BD　[A错误，∵a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，∵lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式； C错误，∵x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选BD.]‎ ‎2．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为(　　)‎ A．2　　 B．　　　　‎ C.　　　　 D. D　[∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，‎ ‎∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.‎ 当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．‎ 即函数y＝的最大值为.]‎ ‎3．若正数m，n满足‎2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．3＋2 B．3＋ C．2＋2 D．3‎ A　[因为‎2m＋n＝1，‎ 所以＋＝·(‎2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，‎ 即n＝m时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选A.]‎ ‎4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ B　[法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.‎ 法二：(常数代换法)由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]‎ ‎5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)‎ A.≥(a>0，b>0)‎ B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)‎ C.≤(a>0，b>0)‎ D.≤(a>0，b>0)‎ D　[由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，‎ 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，‎ 再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 　[∵对任意x＞0，≤a恒成立，‎ ‎∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，‎ 而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，‎ 当且仅当x＝时等号成立，‎ ‎∴a≥.]‎ ‎7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________．‎ 　[由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，|AQ|＋|CP|＝＋≥2，‎ 当且仅当a＝时，取最小值．]‎ ‎8．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．‎ 　[＝＝＝2＋.‎ 因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4，‎ 所以x＋2y＝4≥2，‎ 即≤2,0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立．‎ 所以2＋≥2＋5×＝，‎ 所以的最小值为.]‎ 三、解答题 ‎9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．‎ 故xy的最小值为64.‎ ‎(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝，‎ 因为x＞0，y＞0，所以y＞2，‎ 则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，‎ 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．‎ 故x＋y的最小值为18.‎ 法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)‎ ‎＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18，‎ 当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，‎ 故x＋y的最小值为18.‎ ‎10．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．‎ ‎(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；‎ ‎(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？‎ ‎[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，‎ ‎∴1＝3－k，k＝2，∴x＝3－，‎ 每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，‎ ‎∴2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．‎ ‎(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，‎ ‎∴y≤－8＋29＝21，‎ 当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．‎ 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．‎ ‎1．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图像在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)‎ A．10 B．9‎ C．8 D．3 B　[由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，‎ 由函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线斜率为2，‎ 所以f′(1)＝‎2a＋b＝2，‎ 所以＝＋＝(‎2a＋b)‎ ‎＝≥＝(10＋8)＝9，‎ 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，‎ 所以的最小值为9，故选B.]‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A．4 B．2 C．3 D. A　[∵＝，‎ ‎∴(‎2a－c)cos B＝bcos C，‎ 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C ‎＝sin(B＋C)＝sin A.‎ 又sin A≠0，∴cos B＝.‎ ‎∵03，y>3)．‎ ‎(2)S＝1 808－3x－× ‎＝1 808－≤1 808－2 ‎＝1 808－240＝1 568，‎ 当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝ ‎＝45，‎ 所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．‎ ‎1．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C. D. A　[∵＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，‎ ‎∴m＋2n＝(m＋2n) ‎＝＋＋＋≥＋2＝＋＝3，‎ 当且仅当m＝n＝1时等号成立．]‎ ‎2．(2019·定州期中)已知函数f(x)＝log2(－x)，若对任意的正数a，b，满足f(a)＋f(3b－1)＝0，则＋的最小值为(　　)‎ A．6 B．8‎ C．12 D．24‎ C　[易知函数f(x)＝log2(－x)的定义域为R，‎ 又f(x)＝log2(－x)＝log2，‎ 所以f(x)为R上的减函数．‎ 又f(－x)＝log2(＋x)，所以f(x)＝－f(－x)，‎ 即f(x)为奇函数，‎ 因为f(a)＋f(3b－1)＝0，所以f(a)＝f(1－3b)，‎ 所以a＝1－3b，即a＋3b＝1，‎ 所以＋＝(a＋3b)＝＋＋6，‎ 因为＋≥2＝6，‎ 所以＋＝(a＋3b)＝＋＋6≥12(当且仅当a＝，b＝时，等号成立)，故选C.]‎