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- 2021-06-10 发布
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第13课 一元二次不等式及其解法
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
一元二次不等式
√
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x10一定是一元二次不等式．( )
(2)不等式≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．不等式－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－41时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．
[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；当01时，解集为.
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．
(3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练1] 解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R). 【导学号：62172074】
[解] ①当k＝0时，不等式的解为x＞0.
②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为＜x＜；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．
③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，
即－1＜k＜0时，x＜或x＞；
若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；
若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.
综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；
0＜k＜1时，不等式的解集为
；
k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为
；
k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
k＜－1时，不等式的解集为R.
一元二次不等式恒成立问题
角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
(－2,2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－20时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3} [x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，
即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
[思想与方法]
1．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．
3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
[易错与防范]
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
课时分层训练(十三)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．不等式－2x2＋x＋1>0的解集为__________．
[－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)(x－1)<0，解得－0的解集为.]
2．若集合A＝＝∅，则实数a的值的集合是________.
【导学号：62172076】
{a|0≤a≤4} [由题意知a＝0时，满足条件，
a≠0时，由
得00)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.
[由x2－2ax－8a2<0，
得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，
所以不等式的解集为(－2a,4a)，
即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，
得4a－(－2a)＝15，解得a＝.]
5．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
[－1,4] [令f(x)＝x2－2x＋5，则f(x)＝(x－1)2＋4≥4，
由a2－3a≤4得－1≤a≤4.]
6．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．
[0,1) [①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m≠0时，由条件知得02或log2x<0，
∴x>4或00的解集为________．
{x|x<－ln 3} [设－1和是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，
∴a＝－＝，
b＝－1×＝－.
∵一元二次不等式f(x)<0的解集为，
∴f(x)＝－＝－x2－x＋，
∴f(x)>0的解集为x∈.
不等式f(ex)>0可化为－10的解集为{x|x<－ln 3}．]
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
b<－1或b>2 [由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．
∵x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.]
二、解答题
11．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
【导学号：62172078】
[解] (1)由题意可知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，符合题意，
②当a≠0时，只需
即02－a，即a>1时，N＝{x|2－a.
②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2) [不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0的解集为{x|x>2或x<1}，求a和b的值；
(2)若b＝2a＋1，对任意a∈，f(x)>0恒成立，求x的取值范围．
[解] (1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，所以与之对应的二次方程ax2－bx＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a＝1，b＝3.
(2)令g(a)＝a－x＋2，则
解得x>2或x<1.
故实数x的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
[解] (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，
所以
即
解得a≥，
则a的取值范围为.
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