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  • 2021-06-10 发布

人教A版数学必修三2-1-2系统抽样

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§2.1.2 系统抽样 一、教材分析 教材通过探究“学生对教师教学的意见”过程,介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽 样,并给出实施等距抽样的步骤. 值得注意的是在教学过程中,适当介绍当 n N 不是整数时,应如何实施系统抽样. 二、教学目标 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法: 通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论的数学 方法, 3、情感态度与价值观: 通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的联系。 三、重点难点 教学重点:实施系统抽样的步骤. 教学难点:当 n N 不是整数,如何实施系统抽样. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1 上一节我们学习了简单随机抽样,那么简单随机抽样的特点是什么?简单随机抽样是最 简单和最基本的抽样方法,当总体中的个体较少时,常采用简单随机抽样.但是如果总体中 的个体较多时,怎样抽取样本呢?教师点出课题:系统抽样. 思路 2 某中学有 5 000 名学生,打算抽取 200 名学生,调查他们对奥运会的看法,采用简单随 机抽样时,无论是抽签法还是随机数法,实施过程很复杂,需要大量的人力和物力,那么有 没有更为方便可行的抽样方法呢?这就是今天我们学习的内容:系统抽样. (二)推进新课、新知探究、提出问题 (1)某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的 方法 ? (2)请归纳系统抽样的定义和步骤. (3)系统抽样有什么特点? 讨论结果: (1)可以将这 500 名学生随机编号 1—500,分成 50 组,每组 10 人,第 1 组是 1—10,第二 组 11—20,依次分下去,然后用简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2,然后每隔 10 个号抽取一个,得到 2,12,22,…,492. 这样就得到一个容量为 50 的样本. 这种抽样方法称为系统抽样. (2)一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法 叫做系统抽样. 其步骤是: 1°采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个体编号; 2°将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,l≤k); 3°在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,l≤k); 4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k),再 加上 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本. 说明:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而 把复杂问题简单化,体现了数学转化思想. (3)系统抽样的特点是: 1°当总体容量 N 较大时,采用系统抽样; 2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样 又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[ n N ]. 3°预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的 基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. (三)应用示例 例 1 为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,应采用什么抽样方法较恰当?简 述抽样过程. 解:适宜选用系统抽样,抽样过程如下: (1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2 ,3,…,1000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3)在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如 18. (4)以 18 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容量为 50 的样本:18,38, 58,…,978,998. 点评:系统抽样与简单随机抽样一样,每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽 样是等概率抽样,它是公平的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,当将总体均 分后对每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样. 变式训练 1.下列抽样不是系统抽样的是( ) A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一 件产品检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人 数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 分析:C 中,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样, 所以不是系统抽样. 答案:C 2.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要 按 1∶5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. 分析:按 1∶5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:抽样过程是: (1)按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组, 每组 5 人,第一组是编号为 1—5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6—10 的 5 名学生,依次下 去,59 组是编号为 291—295 的 5 名学生; (2)采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 l(l≤5); (3)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+5k(k=0,1,2,…,58),得到 59 个个体 作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,…,288,293. 例 2 为了了解参加某种知识竞赛的 1 003 名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本. 分析:由于 50 1003 不是整数,所以先从总体中随机剔除 3 个个体. 步骤: (1)随机地将这 1003 个个体编号为 1,2,3,…,1003. (2)利用简单随机抽样,先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表),剩下的个体数 1 000 能被样本容量 50 整除,然后再重新编号为 1,2,3,…,1000. (3)确定分段间隔. 50 1000 =20,则将这 1 000 名学生分成 50 组,每组 20 人,第 1 组是 1, 2,3,…,20;第 2 组是 21,22,23,…,40;依次下去,第 50 组是 981,982,…,1000. (4)在第 1 组用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤20). (5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+20k (k=0,1,2,…,19),得到 50 个个体 作为样本,如当 k=2 时的样本编号为 2,22,42,…,982. 点评:如果遇到 n N 不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体 中剩余的个体数能被样本容量整除. 变式训练 1.某校高中三年级有 1 242 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶40 的比例抽取一 个样本,那么( ) A.剔除指定的 4 名学生 B.剔除指定的 2 名学生 C.随机剔除 4 名学生 D.随机剔除 2 名学生 分析:为了保证每名学生被抽到的可能性相等,必须是随机剔除学生,由于 40 1242 的余 数是 2,所以要剔除 2 名学生. 答案:D 2.从 2 005 个编号中抽取 20 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为( ) A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案:C 例 3 从已编号为 1—50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实 验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 ( ) A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 分 析 : 用 系 统 抽 样 的 方 法 抽 取 到 的 导 弹 编 号 应 该 为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d, 其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求. 答案:B 点评:利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来,从第 2 个号码开 始,每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数,这个常数就是分段间隔. 变式训练 某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为 了了解有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是_________抽 样方法. 答案:系统 (四)知能训练 1.从学号为 0—50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学竞赛,采用系统抽样 的方法,则所选 5 名学生的学号不可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2, 12, 22, 32, 42 D.9,19,29,39,49 答案:A 2.采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个体入 样的可能性为( ) A. 83 1 B. 80 1 C. 10 1 D.不相等 答案:A 3.某单位的在岗工人为 624 人,为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间, 决定抽取 10%的工人调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 答案:先随机剔除 4 人,再按系统抽样抽取样本. 4.某学校有学生 3 000 人,现在要抽取 100 人组成夏令营,怎样抽取样本? 分析:由于总体人数较多,且无差异,所以按系统抽样的步骤来进行抽样. 解:按系统抽样抽取样本,其步骤是: ①将 3 000 名学生随机编号 1,2,…,3000; ②确定分段间隔 k= 100 3000 =30,将整体按编号进行分 100 组,第 1 组 1—30,第 2 组 31—60, 依次分下去,第 100 组 2971—3000; ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,0≤l≤30); ④按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l 加上间隔 30 得到第 2 个个体编号 l+30, 再加上 30,得到第 3 个个体编号 l+60,这样继续下去,直到获取整个样本.比如 l=15,则 抽取的编号为:15,45,75,…,2985. 这些号码对应的学生组成样本. (五)拓展提升 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 000,001,002,…,999,打算从中抽取一个 容量为 50 的样本,按系统抽样方法分成 50 个部分,第一组编号为 000,002,…,019,如 果在第一组随机抽取的一个号码为 015,则抽取的第 40 个号码为_____________. 分析:利用系统抽样抽取样本,在第一组抽取号码为 l=015,分段间隔为 k= 50 1000 =20,则 在第 i 组中抽取的号码为 015+20(i-1).则抽取的第 40 个号码为 015+(40-1)×20=795. 答案:795 (六)课堂小结 通过本节的学习,应明确什么是系统抽样,系统抽样的适用范围,如何用系统抽样获取 样本. (七)作业 习题 2.1A 组 3.