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  • 2021-06-10 发布

2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2

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解答题滚动练2‎ ‎1.如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α-β)的值;‎ ‎(2)求2α-β的值.‎ 解 (1)由S△OAM=和α为锐角,‎ ‎∴sin α=,cos α=.‎ 又点B的纵坐标是,‎ ‎∴sin β=,cos β=-.‎ ‎∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+×=-.‎ ‎(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-,‎ sin 2α=2sin α·cos α=2××=,‎ ‎∴2α∈.‎ ‎∵β∈,∴2α-β∈.‎ ‎∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,‎ ‎∴2α-β=-.‎ ‎2.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=PC=2,AC=4,∠PBC=,点E在BC上,且BE=EC.‎ ‎(1)求证:平面PAB⊥平面PBC;‎ ‎(2)求AE与平面PAB所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 因为PC⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,‎ 所以PC⊥AB,PC⊥BC.‎ 又因为在△PBC中,PC=2,∠PBC=,所以BC=2,‎ 而AB=2,AC=4,所以AC2=AB2+BC2,‎ 所以AB⊥BC.‎ 又AB⊥PC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,‎ 所以AB⊥平面PBC,又AB⊂平面PAB,‎ 所以平面PAB⊥平面PBC.‎ ‎(2)解 设AE与平面PAB所成的角为θ.‎ 因为BE=EC,‎ 所以点E到平面PAB的距离dE=dC(dC表示点C到平面PAB的距离).‎ 过C作CF⊥PB于点F,‎ 由(1)知CF⊥平面PAB,‎ 易得dC=CF=,所以dE=dC=.‎ 又AE==,‎ 所以sin θ==.‎ ‎3.已知数列{an}的各项均为非负数,其前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,都有an+1≤.‎ ‎(1)若a1=1,a505=2 017,求a6的最大值;‎ ‎(2)若对任意n∈N*,都有Sn≤1,求证:0≤an-an+1≤.‎ ‎(1)解 由题意知an+1-an≤an+2-an+1,‎ 设di=ai+1-ai(i=1,2,…,504),‎ 则d1+d2+d3+…+d504=a505-a1=2 016,‎ ‎∵≤=,‎ ‎∴d1+d2+…+d5≤20,‎ ‎∴a6=a1+(d1+d2+…+d5)≤21,‎ ‎∴a6的最大值为21.‎ ‎(2)证明 若存在k∈N*,使得ak0时,g(x)在(-∞,ln a)上单调递减,‎ 在(ln a,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)当x>0时,x2-x≤ex-ax-1,‎ 即a≤-x-+1.‎ 令h(x)=-x-+1(x>0),‎ 则h′(x)=(x>0).‎ 令F(x)=ex(x-1)-x2+1(x>0),‎ 则F′(x)=x(ex-2)(x>0).‎ 当x∈(0,ln 2)时,F′(x)<0,F(x)单调递减;‎ 当x∈(ln 2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)单调递增.‎ 又F(0)=0,F(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F(x)<0,‎ 即h′(x)<0,h(x)单调递减;‎ 当x∈(1,+∞)时,F(x)>0,‎ 即h′(x)>0,h(x)单调递增.‎ 所以h(x)min=h(1)=e-1,‎ 所以a∈(-∞,e-1].‎