高考文科数学复习备课课件：第五节　直线、平面垂直的判定与性质 40页

文数 课标版 第五节　直线、平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的① 　任意一条     直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相 垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 教材研读 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的 ② 　两条相交直线     都垂直, 则该直线与此平面垂直     ⇒ l ⊥ α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线⑦ 　平行         ⇒ a ∥ b 2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的   　锐角     , 叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所 成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是 0 ° 的角.如图所示,   　∠ PAO      就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. (2)线面角 θ 的范围: θ ∈               . 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的   　两个半平面     所组成的图形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分 别作   　垂直于棱     的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角. 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的一条 　垂线     ,则这两个平面互相垂直   ⇒ α ⊥ β 性质 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们 交线     的直线与另一个平面垂直   ⇒ l ⊥ α 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l ⊥ α .   ( × ) (2)若直线 a ⊥平面 α ,直线 b ∥ α ,则直线 a 与 b 垂直.   (√) (3)直线 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a ∥ b .   (√) (4)若 α ⊥ β , a ⊥ β ⇒ a ∥ α .   ( × ) (5) a ⊥ α , a ⊂ β ⇒ α ⊥ β .   (√) (6)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面.   ( × ) 1.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两个平面互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相 互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于 这个平面. 其中真命题的个数是   (　　) A.1　    B.2 C.3　    D.4 答案     B　①④正确. 2.设 a , b 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,则能得出 a ⊥ b 的是   (　　) A. a ⊥ α , b ∥ β , α ⊥ β 　    B. a ⊥ α , b ⊥ β , α ∥ β C. a ⊂ α , b ⊥ β , α ∥ β 　    D. a ⊂ α , b ∥ β , α ⊥ β 答案     C　对于C项,由 α ∥ β , a ⊂ α 可得 a ∥ β ,又由 b ⊥ β ,得 a ⊥ b .故选C. 3. PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,连接 PB 、 PC 、 PA 、 AC 、 BD ,则 一定互相垂直的平面有   (　　) A.8对　    B.7对　    C.6对　    D.5对 答案     B　由于 PD ⊥平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形, 故平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PDB ⊥平面 ABCD , 平面 PDC ⊥平面 ABCD , 平面 PDA ⊥平面 PDC , 平面 PAC ⊥平面 PDB , 平面 PAB ⊥平面 PAD , 平面 PBC ⊥平面 PDC ,共7对. 4.如图所示,在斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,∠ BAC =90 ° , BC 1 ⊥ AC ,则 C 1 在底面 ABC 上的射影 H 必在   (　　) A.直线 AB 上　    B.直线 BC 上 C.直线 AC 上　    D.△ ABC 内部 答案     A　连接 AC 1 .∵∠ BAC =90 ° ,∴ AB ⊥ AC , 又 AC ⊥ BC 1 , BC 1 ∩ AB = B ,∴ AC ⊥平面 ABC 1 , 又 AC ⊂ 平面 ABC ,∴平面 ABC ⊥平面 ABC 1 . ∵平面 ABC 1 ∩ 平面 ABC = AB , ∴点 C 1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上,故选A. 考点一　直线与平面垂直的判定与性质 典例1 　如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , AB ⊥ AD , AC ⊥ CD , ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC , E 是 PC 的中点.   (1)证明: CD ⊥ AE ; (2)证明: PD ⊥平面 ABE . 考点突破 证明 　(1)在四棱锥 P - ABCD 中, ∵ PA ⊥底面 ABCD , CD ⊂ 平面 ABCD ,∴ PA ⊥ CD . ∵ AC ⊥ CD , PA ∩ AC = A , ∴ CD ⊥平面 PAC . 而 AE ⊂ 平面 PAC ,∴ CD ⊥ AE . (2)由 PA = AB = BC ,∠ ABC =60 ° ,可得 AC = PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ⊥ PC . 由(1)知, AE ⊥ CD ,又 PC ∩ CD = C ,所以 AE ⊥平面 PCD . 而 PD ⊂ 平面 PCD ,∴ AE ⊥ PD . ∵ PA ⊥底面 ABCD ,∴ PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , 又∵ AB ⊥ AD ,∴ AB ⊥ PD . 又 AB ∩ AE = A ,∴ PD ⊥平面 ABE . 方法技巧 (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直 的性质. (2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于 线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思想. 1-1     (2016课标全国Ⅰ,19,12分)如图,已知正三棱锥 P - ABC 的侧面是直 角三角形, PA =6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D , D 在平面 PAB 内的 正投影为点 E ,连接 PE 并延长交 AB 于点 G . (1)证明: G 是 AB 的中点; (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明作法及理由),并求四面 体 PDEF 的体积.   解析 　(1)证明:因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 AB ⊥ PD . 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ,所以 AB ⊥ DE . 又 PD ∩ DE = D ,所以 AB ⊥平面 PED ,故 AB ⊥ PG . 又由已知可得, PA = PB ,从而 G 是 AB 的中点. (2)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影. 理由如下:由已知可得 PB ⊥ PA , PB ⊥ PC , 又 EF ∥ PB ,所以 EF ⊥ PA , EF ⊥ PC ,又 PA ∩ PC = P ,因此 EF ⊥平面 PAC ,即 点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中 心,由(1)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD =   CG .   由题设可得 PC ⊥平面 PAB , DE ⊥平面 PAB ,所以 DE ∥ PC ,因此 PE =   PG , DE =   PC . 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA =6,可得 DE =2, PE =2   . 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF = PF =2, 所以四面体 PDEF 的体积 V =   ×   × 2 × 2 × 2=   . 考点二　面面垂直的判定与性质 典例2 　如图,四棱锥 P - ABCD 中, AB ⊥ AC , AB ⊥ PA , AB ∥ CD , AB =2 CD , E , F , G , M , N 分别为 PB , AB , BC , PD , PC 的中点. (1)求证: CE ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 EFG ⊥平面 EMN .   证明      (1)证法一:取 PA 的中点 H ,连接 EH , DH . 因为 E 为 PB 的中点,所以 EH ∥ AB , EH =   AB . 又 AB ∥ CD , CD =   AB , 所以 EH ∥ CD , EH = CD . 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE ∥ DH . 又 DH ⊂ 平面 PAD , CE ⊄ 平面 PAD , 因此, CE ∥平面 PAD . 证法二:连接 CF . 因为 F 为 AB 的中点, 所以 AF =   AB . 又 CD =   AB , 所以 AF = CD . 又 AF ∥ CD , 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF ∥ AD . 又 AD ⊂ 平面 PAD , CF ⊄ 平面 PAD , 所以 CF ∥平面 PAD . 因为 E , F 分别为 PB , AB 的中点, 所以 EF ∥ PA . 又 PA ⊂ 平面 PAD , EF ⊄ 平面 PAD , 所以 EF ∥平面 PAD . 因为 CF ∩ EF = F , CF ⊂ 平面 CEF , EF ⊂ 平面 CEF , 故平面 CEF ∥平面 PAD . 又 CE ⊂ 平面 CEF , 所以 CE ∥平面 PAD . (2)因为 E , F 分别为 PB , AB 的中点, 所以 EF ∥ PA . 又 AB ⊥ PA ,所以 AB ⊥ EF . 同理可证 AB ⊥ FG . 又 EF ∩ FG = F , EF ⊂ 平面 EFG , FG ⊂ 平面 EFG , 因此 AB ⊥平面 EFG . 又 M , N 分别为 PD , PC 的中点, A 所以 MN ∥ CD . 又 AB ∥ CD ,所以 MN ∥ AB . 因此 MN ⊥平面 EFG . 又 MN ⊂ 平面 EMN , 所以平面 EFG ⊥平面 EMN . 方法指导 证明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定义(不常用); (2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证 这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方 法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通 过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅 助线来解决(常用方法). 2-1     (2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交 点, BE ⊥平面 ABCD . (1)证明:平面 AEC ⊥平面 BED ; (2)若∠ ABC =120 ° , AE ⊥ EC ,三棱锥 E - ACD 的体积为   ,求该三棱锥的侧 面积.   解析 　(1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ⊥ BD . 因为 BE ⊥平面 ABCD ,所以 AC ⊥ BE . 又 BD ∩ BE = B ,故 AC ⊥平面 BED . 又 AC ⊂ 平面 AEC ,所以平面 AEC ⊥平面 BED . (2)设 AB = x ,在菱形 ABCD 中,由∠ ABC =120 ° ,可得 AG = GC =   x , GB = GD =   . 因为 AE ⊥ EC ,所以在Rt△ AEC 中,可得 EG =   x . 由 BE ⊥平面 ABCD ,知△ EBG 为直角三角形,可得 BE =   x . 由已知得,三棱锥 E - ACD 的体积 V E - ACD =   ×   AC · GD · BE =   x 3 =   .故 x =2. 从而可得 AE = EC = ED =   . 所以△ EAC 的面积为3,△ EAD 的面积与△ ECD 的面积均为   . 故三棱锥 E - ACD 的侧面积为3+2   . 考点三　平行与垂直的综合问题 命题角度一　平行与垂直关系的证明 典例3     (2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中, D 是 AC 的中点, EF ∥ DB . (1)已知 AB = BC , AE = EC ,求证: AC ⊥ FB ; (2)已知 G , H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证: GH ∥平面 ABC .   证明 　(1)因为 EF ∥ DB , 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF . 连接 DE . 因为 AE = EC , D 为 AC 的中点, 所以 DE ⊥ AC . 同理可得 BD ⊥ AC . 又 BD ∩ DE = D , 所以 AC ⊥平面 BDEF , 因为 FB ⊂ 平面 BDEF , 所以 AC ⊥ FB .   (2)设 FC 的中点为 I .连接 GI , HI . 在△ CEF 中,因为 G 是 CE 的中点, 所以 GI ∥ EF .又 EF ∥ DB , 所以 GI ∥ DB . 在△ CFB 中,因为 H 是 FB 的中点, 所以 HI ∥ BC . 又 HI ∩ GI = I , 所以平面 GHI ∥平面 ABC . 因为 GH ⊂ 平面 GHI , 所以 GH ∥平面 ABC .   典例4 　如图,在四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD =2 AB , SA = SD , SA ⊥ AB , N 是棱 AD 的中点. (1)求证: AB ∥平面 SCD ; (2)求证: SN ⊥平面 ABCD ; (3)在棱 SC 上是否存在一点 P ,使得平面 PBD ⊥平面 ABCD ?若存在,求出   的值;若不存在,请说明理由.   命题角度二　平行与垂直关系中的探索性问题 解析 　(1)证明:因为 ABCD 是矩形, 所以 AB ∥ CD , 又因为 AB ⊄ 平面 SCD , CD ⊂ 平面 SCD , 所以 AB ∥平面 SCD . (2)证明:因为 AB ⊥ SA , AB ⊥ AD , SA ∩ AD = A , 所以 AB ⊥平面 SAD , 又因为 SN ⊂ 平面 SAD , 所以 AB ⊥ SN . 因为 SA = SD ,且 N 为 AD 的中点, 所以 SN ⊥ AD . 又因为 AB ∩ AD = A , 所以 SN ⊥平面 ABCD . (3)棱 SC 上存在一点 P ,使得平面 PBD ⊥平面 ABCD . 理由:如图,连接 BD 交 NC 于点 F ,在△ SNC 中,过 F 作 FP ∥ SN ,交 SC 于点 P , 连接 PB , PD .   因为 SN ⊥平面 ABCD ,所以 FP ⊥平面 ABCD . 又因为 FP ⊂ 平面 PBD , 所以平面 PBD ⊥平面 ABCD . 在矩形 ABCD 中,因为 ND ∥ BC ,且 N 为 AD 的中点, 所以   =   =   . 在△ SNC 中,因为 FP ∥ SN , 所以   =   =   . 所以在棱 SC 上存在一点 P ,使得平面 PBD ⊥平面 ABCD ,此时   =   . 典例5     (2016江苏扬州二模)如图1,在边长为4的菱形 ABCD 中,∠ DAB = 60 ° ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, AC ∩ EF = O .沿 EF 将△ CEF 翻折到 △ PEF ,连接 PA , PB , PD ,得到图2所示的五棱锥 P - ABFED ,且 PB =   . (1)求证: BD ⊥平面 POA ; (2)求四棱锥 P - BFED 的体积.   图1　　　　　　　　　　　　　　图2 命题角度三　平行与垂直关系中的折叠问题 解析 　(1)证明:翻折前, ∵点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, ∴ BD ∥ EF . ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ⊥ AC . ∴ EF ⊥ AC . 则翻折后, EF ⊥ AO , EF ⊥ PO . ∵ AO ⊂ 平面 POA , PO ⊂ 平面 POA , AO ∩ PO = O , ∴ EF ⊥平面 POA . ∴ BD ⊥平面 POA . (2)设 AO ∩ BD = H ,连接 BO ,   ∵∠ DAB =60 ° , ∴△ ABD 为等边三角形. ∴ BD =4, BH =2, HA =2   , HO = PO =   . 在Rt△ BHO 中, BO =   =   , 在△ PBO 中, BO 2 + OP 2 =10= PB 2 , ∴ PO ⊥ BO . 又∵ OP ⊥ EF , EF ∩ BO = O , EF ⊂ 平面 BFED , BO ⊂ 平面 BFED ,∴ PO ⊥平 面 BFED . 梯形 BFED 的面积 S =   ( EF + BD )· HO =3   , ∴四棱锥 P - BFED 的体积 V =   S · PO =   × 3   ×   =3. 方法技巧 平行与垂直的综合应用问题的处理策略 (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存 在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识建点. (2)解决此类问题的关键是结合图形,弄清折叠前后变与不变的数量关 系及位置关系. 3-1 　如图,在长方形 ABCD 中, AB =2, BC =1, E 为 CD 的中点, F 为 AE 的中点. 现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列问题:   (1)在线段 AB 上是否存在一点 K ,使 BC ∥平面 DFK ?若存在,请证明你的结 论;若不存在,请说明理由; (2)若平面 ADE ⊥平面 ABCE ,求证:平面 BDE ⊥平面 ADE .   证明如下: 设 H 为 AB 的中点,连接 EH ,则 BC ∥ EH , ∵ AK =   AB , F 为 AE 的中点, ∴ KF ∥ EH ,∴ KF ∥ BC , ∵ KF ⊂ 平面 DFK , BC ⊄ 平面 DFK , ∴ BC ∥平面 DFK . (2)证明:∵在折起前的图形中 E 为 CD 的中点, AB =2, BC =1, 解析 　(1)如图,线段 AB 上存在一点 K ,且当 AK =   AB 时, BC ∥平面 DFK . ∴在折起后的图形中, AE = BE =   , 从而 AE 2 + BE 2 =4= AB 2 ,∴ AE ⊥ BE . ∵平面 ADE ⊥平面 ABCE ,平面 ADE ∩ 平面 ABCE = AE , BE ⊂ 平面 ABCE ,∴ BE ⊥平面 ADE , ∵ BE ⊂ 平面 BDE ,∴平面 BDE ⊥平面 ADE .