浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第6节三角函数的图象与性质含解析 19页

第6节　三角函数的图象与性质 考试要求　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.‎ ‎2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.‎ ‎3.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(　　)‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(5)y＝sin|x|是偶函数.(　　)‎ 解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.‎ ‎(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.关于周期函数，下列说法错误的是(　　)‎ A.函数f(x)＝sin 不是周期函数 B.函数f(x)＝sin 不是周期函数 C.函数f(x)＝sin|x|不是周期函数 D.函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为π 解析　f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为.‎ 答案　D ‎3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B.‎ 答案　B ‎4.若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.‎ 答案　C ‎5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.‎ 解析　因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，‎ 所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，‎ 得＋＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎6.设函数f(x)＝2sin(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________.‎ 解析　由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).‎ 答案　2　(k∈Z)‎ 考点一　三角函数的定义域及三角不等式 ‎【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.‎ ‎(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.‎ 解析　(1)由正切函数的定义域得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，‎ 即x≠＋(k∈Z)，故选D.‎ ‎(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，‎ 由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为 ，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎ (3)由题意得 由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.‎ 解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得f(x)的增区间是(k∈Z).‎ 因为f(x)在上是增函数，‎ 所以⊆.‎ 所以－≥－且≤，所以ω∈.‎ 法二　因为x∈，ω>0.‎ 所以ωx∈，‎ 又f(x)在区间上是增函数，‎ 所以⊆，‎ 则又ω>0，‎ 得0<ω≤.‎ 法三　因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.‎ 答案　(1)(k∈Z)　(2) 规律方法　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 角度3　三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3－3】 (1)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.‎ ‎(2)函数f(x)＝2cos－1的对称轴为________，最小值为________.‎ 解析　(1)由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.‎ ‎(2)由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即函数 f(x)的对称轴为x＝kπ－(k∈Z)；因为2cos∈[－2，2]，所以2cos－1∈[－3，1]，所以函数f(x)的最小值为－3.‎ 答案　(1)－　(2)x＝kπ－(k∈Z)　－3‎ 规律方法　(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f(x)＝cos2x－sin2，则f＝________，该函数的最小正周期为________.‎ ‎(2)(角度2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)(角度3)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，则φ的值是________.‎ 解析　(1)法一　f(x)＝－＝cos，则f＝cos ＝0，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 法二　注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin2α－sin2β，则f(x)＝sin2－sin2＝sinsin ＝cos，则f＝cos ＝0，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，‎ 则(k∈Z)，‎ 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ ‎(3)因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，所以sin＝0，又因为－<φ<，则－<＋φ<，即＋φ＝0，‎ 解得φ＝－.‎ 答案　(1)0　π　(2)D　(3)－ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)‎ A.2 B. ‎ C.1 D. 解析　由题意及函数y＝sin ωx的图象和性质可知，‎ T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.‎ 答案　A ‎2.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析　当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.‎ 答案　B ‎3.函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)‎ A.3，－1 B.3，－2‎ C.2，－1 D.2，－2‎ 解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ‎＝－sin2x－2sin x＋1，‎ 令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，‎ 所以ymax＝2，ymin＝－2.‎ 答案　D ‎4.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为－2π ‎ B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ ‎ D.f(x)在单调递减 解析　函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.‎ 答案　D ‎5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值是(　　)‎ A.12 B.11 ‎ C.10 D.9‎ 解析　由x＝－为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的零点，x＝为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的对称轴得－ω＋φ＝k1π，ω＋φ＝k2π＋(k1，k2∈Z)，则ω＝2(k2－k1)＋1(k1，k2∈Z)①，又因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在上单调，所以·≥－，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.‎ 答案　B ‎6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以 f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7.若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f(x)取最大值时，x的取值集合为________.‎ 解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.由f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x(x∈R)，∴当2x＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)得最大值1.‎ 答案　　 ‎8.函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________.‎ 解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，‎ 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).‎ ‎∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，‎ 又x∈，∴单调递增区间为.‎ 答案　 ‎9.若x＝是函数f＝sin 2x＋acos 2x的一条对称轴，则函数f的最小正周期是________；函数f的最大值是________.‎ 解析　∵f(x)＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋θ)(tan θ＝a)，又x＝是函数的一条对称轴，‎ ‎∴2×＋θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z.‎ 则f(x)＝sin，k∈Z.‎ T＝＝π；‎ 由a＝tan θ＝tan＝tan＝，‎ 得＝＝.‎ ‎∴函数f(x)的最大值是.‎ 答案　π　 ‎10.(一题多解)若函数y＝sin ωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.‎ 解析　法一　由题意得ω>0，ωx∈[0，2ωπ]⊆，所以0<2ωπ≤⇒0<ω≤.‎ 法二　由题意得ω>0，∵y＝sin ωx在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少T的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即≥8π，即ω≤，故0<ω≤.‎ 答案　 三、解答题 ‎11.(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；‎ ‎(2)求函数y＝＋的值域.‎ 解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，‎ 所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，‎ 即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，‎ 故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.‎ 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.‎ ‎(2)y＝＋ ‎＝sin2＋sin2 ‎＝＋ ‎＝1－ ‎＝1－cos.‎ 因此所求函数的值域是.‎ ‎12.设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)(一题多解)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值.‎ 解　(1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos ‎＝sin －cos ＝sin，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝8.‎ ‎(2)法一　在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，‎ 它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).‎ 由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，‎ 从而g(x)＝f(2－x)＝sin ‎＝sin＝cos.‎ 当0≤x≤时，≤＋≤，‎ 因此y＝g(x)在区间上的最大值为 g(x)max＝cos ＝.‎ 法二　区间关于x＝1的对称区间为，‎ 且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，‎ 故y＝g(x)在上的最大值为 y＝f(x)在上的最大值.‎ 由(1)知f(x)＝sin，‎ 当≤x≤2时，－≤－≤.‎ 因此y＝g(x)在上的最大值为 g(x)max＝sin ＝.‎ 能力提升题组 ‎13.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为(　　)‎ A. B. ‎ C.2 D.3‎ 解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.‎ 由已知条件知－≤－，∴ω≥.‎ 答案　B ‎14.设x1，x2，x3，x4∈，则(　　)‎ A.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足sin(x－y)> B.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足cos(x－y)≥ C.在这四个数中至多存在两个数x，y，满足tan(x－y)< D.在这四个数中至多存在两个数x，y，满足sin(x－y)≥ 解析　将区间平均分为三个区间，则每个区间的长度为.因为x1，x2，x3，x4∈，所以在x1，x2，x3，x4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x，y，则|x－y|≤，所以cos(x－y)≥，故选B.‎ 答案　B ‎15.函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(a≠0，b≠0，ω≠0)，则f(x)(　　)‎ A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a，b有关 C.奇偶性与ω有关 D.奇偶性与a，b无关 解析　f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，要使函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则f(0)＝sin φ＝0，因为a≠0，b≠0，所以≠0，又因为sin φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠0，所以函数f(x)不是奇函数.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f(0)＝sin φ＝±，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a≠0，所以cos φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠±，所以函数f(x)不是偶函数，故选A.‎ 答案　A ‎16.函数f(x)＝2cos2 x＋cos－1，则函数的最小正周期为________，在内的一条对称轴方程是________.‎ 解析　f(x)＝1＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x－1＝cos 2x－sin 2x＝cos ，∴T＝＝π.令2x＋＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴x＝－＋，k∈Z.‎ ‎∵x∈，∴x＝π.‎ 答案　π　x＝ ‎17.已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x＋α)为偶函数，求|α|的最小值.‎ 解　(1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋ ‎＝2sin xcos x－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由题意得g(x)＝f(x＋α)＝2sin，‎ 因为函数g(x)为偶函数，‎ 所以2α－＝kπ＋，k∈Z，α＝＋，k∈Z，‎ 当k＝－1时，|α|的最小值为.‎ ‎18.已知函数f(x)＝a＋b.‎ ‎(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.‎ 解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，‎ 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.‎ ‎①当a>0时， ‎∴a＝3－3，b＝5.‎ ‎②当a<0时， ‎∴a＝3－3，b＝8.‎ 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.‎