2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数与方程课件 41页

第12讲　函数与方程 课标要求 考情风向标 1.结合二次函数的图象，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数，从而 了解函数的零点与方程根的联系. 2.根据具体函数的图象，能够借助计 算器用二分法求相应方程的近似解， 了解这种方法是求方程近似解的常 用方法 高考试题对该部分内容考 查的主要角度有两种：一 种是找函数零点个数；一 种是判断零点的范围.另 外备考中应该特别注意运 用导数来研究函数零点 1.函数的零点 (1)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有_______ ⇔函数 y＝f(x)有零点. 交点 ＜ (2)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的， 且有 f(a)·f(b)______0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点. 一般把这一结论称为零点存在性定理. 2.二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)·f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法. 1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不 同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零 点的区间是( )B 图 2-12-1 A.[－2.1，－1] C.[4.1,5] B.[1.9,2.3] D.[5,6.1] 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) C x －1 0 1 2 3 f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 3.(2017 年山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象 在 R 上不间断，由表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有 )零点的是( A.(－1,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3) 解析：当 x＝－1 时，f(－1)－g(－1)＜0； 当 x＝0 时，f(0)－g(0)＜0； 当 x＝1 时，f(1)－g(1)＞0； 当 x＝2 时，f(2)－g(2)＞0； 当 x＝3 时，f(3)－g(3)＞0， 且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断， 由零点存在性定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点. 故选 B. 答案：B )的区间是( A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4，＋∞) C 考点 1 函数零点的判定 例 1：(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－ )c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c) ＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，∴两个零点分别位 于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A. 答案：A 图 D13 答案：2 A.2 个 B.3 个 C.6 个 D.7 个 解析：方法一，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.若f(x) ＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1,5|x－1|＝2，解得x＝1±log52；当 x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.若f(x)＝4，当x≥0 时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1，解得x＝0或2；当x<0时，即x2＋4x ＝0，解得x＝－4.故所求实根个数共有7个.故选D. 图 D14 方法二，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.作出f(x)的 图象如图 D14.由 f(x)的图象，可知 f(x)＝1 有 4 个根，f(x)＝4 有 3 个根.∴方程 f2(x) －5f(x)＋4＝0 有 7 个根.故选 D. 答案：D 【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点， 常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看 方程是否有根落在给定区间上[如第(3)题]；②利用函数零点的 存在性定理进行判断[如第(1)题]；③通过函数图象，观察图象 在给定区间上的交点来判断[如第(2)题]. 考点 2 根据函数零点的存在情况，求参数的值 答案：C f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A.[－1,0) C.[－1，＋∞) B.[0，＋∞) D.[1，＋∞) 解析：g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，得 f(x)＝－x－a.若 g(x)存在 2 个零点，即直线 y＝－x－a 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 D15， 实数 a 的取值范围是－a≤1，a≥－1. 图 D15 答案：C y≥0. 又 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图 D16，要使 f(x)＝g(x)在(0,9]上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可. 图 D16 【规律方法】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程 的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误， 根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的 临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 考点 3 二分法的应用 例 3：(1)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差 的绝对值不超过 0.25，则 f(x)可以是( ) 答案：A (2)已知函数 f(x)＝ln x＋2x－6. ①求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数； ②求证：函数 f(x)有且只有一个零点； ③求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超 ①证明：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， ②证明：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多 有一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点. 设x1－1，b<0 B.a<－1，b>0 D.a>－1，b>0 ②当 a＋1>0，即 a>－1 时，令 y′>0 得 x∈(a＋1，＋∞)， 函数递增，令 y′<0 得 x∈[0，a＋1)，函数递减；函数最多有2 个零点； 根据题意函数 y＝f(x)－ax－b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f(x) －ax－b 在(－∞，0)上有一个零点，在[0，＋∞)上有 2 个零点， 如图 2-12-2： 图 2-12-2 故选：C. 答案：C 【规律方法】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方 程中涉及a，b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论， 这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 【跟踪训练】 答案：A 1.判断函数零点个数的常见方法： (1)直接法：解方程 f(x)＝0，方程有几个解，函数 f(x)就有 几个零点； (2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的 交点个数即为函数 f(x)的零点个数； (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差，从而 f(x) ＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数 f(x)的零点个数即为函 数 y＝h(x)与函数 y＝g(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ 来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法： (1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否 有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方 法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式 确定参数取值范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题 加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系 中，画出函数的图象，然后数形结合求解.