高考文科数学复习备课课件：第一节　平面向量的概念及其线性运算 23页

文数 课标版 第一节　平面向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 教材研读 名称 定义 备注 向量 既有①　大小    又有②　方向    的量;向量的 大小叫做向量的③　长度    (或④　模    ) 向量由方向和长度确定,不受位 置影响 零向量 长度为⑤　0    的向量;其方向是任意的 记作⑥　0     单位向量 长度等于⑦　1个单位    的向量 非零向量a的单位向量为±  平行向量 方向⑧　相同    或⑨　相反    的非零向量 0与任一向量 　平行    或共线 共线向量 ⑩　方向相同或相反    的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度 　相等    且方向 　相同    的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度 　相等    且方向 　相反    的向量 0的相反向量为0 | | a a 2.向量的线性运算 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得      b=λa    .   　　判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.  (√) (2)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.  (×) (3)  =  -  .  (√) (4)若a∥b,b∥c,则a∥c.  (×) (5)向量  与向量  是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.  (×) (6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa(λ∈R).  (√) BA  OA  OB  AB  CD  1.下列说法正确的是  (　　) A.  ∥  就是  所在的直线平行于  所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案    C      ∥  包含  所在的直线与  所在的直线平行和重合两 种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零 向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以 是所在直线互相平行的向量,故D错. AB  CD  AB  CD  AB  CD  AB  CD  2.在四边形ABCD中,  =  ,且|  |=|  |,那么四边形ABCD为(　　) A.平行四边形　    B.菱形　    C.长方形　    D.正方形 答案   B      =  ,则四边形ABCD为平行四边形.又|  |=|  |,则四边 形ABCD为菱形,故选B. AB  DC  AB  BC  AB  DC  AB  BC  3.在▱ ABCD中,  =a,  =b,  =3  ,M为BC的中点,则  =　　　     　　    (用a,b表示). 答案　- a+ b 解析　由  =3  ,得  =   = (a+b),又  =a+ b,所以  =  -   = (a+b)-  =- a+ b. AB  AD  AN  NC  MN  1 4 1 4 AN  NC  AN  3 4AC  3 4 AM  1 2 MN  AN  AM  3 4 1 2 a b     1 4 1 4 4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=　　         . 答案　-  解析　由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)], 所以  解得    1 3 , 1 3 , λ k k     1 , 3 1 . 3 k λ        考点一　向量的有关概念 典例1　给出下列命题: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若A、B、C、D是不共线的四点,则  =  是四边形ABCD为平行四 边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b; (5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中假命题的个数为  (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案   B AB  DC  考点突破 解析　(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由 |a|=|b|推不出a=b. (2)正确.若  =  ,则|  |=|  |且  ∥  . 又∵A、B、C、D是不共线的四点, ∴四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且  与  方向相同,因 此  =  . (3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同. ∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同. ∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c. (4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故  AB  DC  AB  DC  AB  DC  AB  DC  AB  DC  不是a=b的充要条件. (5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线. 易错警示 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它 与函数图象的移动混为一谈. (4)非零向量a与 的关系: 是a方向上的单位向量.| | a a | | a a 1-1　设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件 是  (　　) A.a=-b　　B.a∥b C.a=2b　　D.a∥b且|a|=|b| 答案    C　因为向量 的方向与向量a相同,向量 的方向与向量b相 同,且 = ,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. 当a=2b时, =  = ,故a=2b是 = 成立的充分条件. | | a a | | b b | | a a | | b b | | a a | | b b | | a a 2 | 2 | b b | | b b | | a a | | b b 1-2　给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③若λa=0(λ为实数),则λ必为零. ④若λa=μb(λ,μ为实数),则a与b共线. 其中错误命题的个数为  (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案    C　①错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.② 正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向 量的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,无论λ为何值,均有λa =0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C. 1-3　如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与  相等的向量有 　　　　　　    .   答案      ,  ,    OC  AB  ED  FO  考点二　向量的线性运算 典例2　(1)(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,  =3  , 则  (　　) A.  =-   +   　    B.  =   -   C.  =   +   　    D.  =   -   (2)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,  =a,   =b,则  =  (　　)   BC  CD  AD  1 3 AB  4 3 AC  AD  1 3 AB  4 3 AC  AD  4 3 AB  1 3 AC  AD  4 3 AB  1 3 AC  AB  AC  AD  A.a- b　　B. a-b　　C.a+ b　　D. a+b 1 2 1 2 1 2 1 2 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)  =  +  =  +  +  =  +   =  + (  -  )=-   +    .故选A. (2)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且  =   = a, 所以  =  +  =b+ a. AD  AB  BD  AB  BC  CD  AB  4 3 BC  AB  4 3 AC  AB  1 3 AB  4 3 AC  CD  1 2 AB  1 2 AD  AC  CD  1 2 方法指导 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等 向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示 出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形 式. (3)比较、观察可知所求. 2-1　在△ABC中,  =c,  =b.若点D满足  =2  ,则  =  (　　) A. b+ c　　B. c- b C. b- c　　D. b+ c 答案   D　由题意可知  =  -  =b-c,∵  =2  ,∴  =   = (b -c),则  =  +  =  +   =c+ (b-c)= b+ c.故选D. AB  AC  BD  DC  AD  1 3 2 3 5 3 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 BC  AC  AB  BD  DC  BD  2 3BC  2 3 AD  AB  BD  AB  2 3 BC  2 3 2 3 1 3 2-2　在△ABC中,N是AC边上一点且  =   ,P是BN上一点,若  =m     +     , 则实数m的值是　　　    . 答案      解析　因为  =   ,所以  =   ,所以  =m  +   =m  +   , 因为P是BN上一点,所以B,P,N三点共线,所以m+ =1,则m= . AN  1 2 NC  AP  AB  2 9 AC  1 3 AN  1 2 NC  AN  1 3 AC  AP  AB  2 9 AC  AB  2 3 AN  2 3 1 3   考点三　共线向量定理的应用 典例3　设两个非零向量a与b不共线. (1)若  =a+b,  =2a+8b,  =3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 解析　(1)证明:∵  =a+b,  =2a+8b,  =3(a-b), ∴  =  +  =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5  , ∴  ,  共线,又它们有公共点B, ∴A,B,D三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b. AB  BC  CD  AB  BC  CD  BD  BC  CD  AB  AB  BD  又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0. ∴k2-1=0. ∴k=±1. 1.共线向量定理的应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的 值. (2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数 法应用非常广泛. 方法技巧 2.证明三点共线的方法 若  =λ  ,则A、B、C三点共线.AB  AC  变式3-1　若将本例(1)中“  =2a+8b”改为“  =a+mb”,则m为何值 时,A、B、D三点共线? 解析    +  =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b, 即  =4a+(m-3)b. 若A、B、D三点共线,则存在实数λ,使  =λ  , 即4a+(m-3)b=λ(a+b), ∴  解得m=7. 故当m=7时,A、B、D三点共线. BC  BC  BC  CD  BD  BD  AB  4 , 3 , λ m λ     变式3-2　若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解析　因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0), 所以  所以k=±1. 又λ<0,k=λ,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线. , 1, k λ kλ    3-3　设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb, (a+b)的 终点在同一条直线上,求实数t的值. 解析　∵a,tb, (a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b的起点相 同, ∴a-tb与a- (a+b)共线,即a-tb与 a- b共线, ∴存在实数λ,使a-tb=λ  , ∴  解得λ= ,t= . 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 1 3 3 a b     21 , 3 1 , 3 λ t λ       3 2 1 2