高中数学人教a版选修1-1学业分层测评9双曲线及其标准方程word版含解析 7页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．双曲线x2 25 －y2 9 ＝1 的两个焦点分别是 F1，F2，双曲线上一点 P 到 F1 的距离是 12，则 P 到 F2 的距离是( ) A．17 B．7 C．7 或 17 D．2 或 22 【解析】 由双曲线方程x2 25 －y2 9 ＝1 得 a＝5， ∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10. 又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2 或 22. 故选 D. 【答案】 D 2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程 为( ) A．x2－y2 3 ＝1 B.x2 3 －y2＝1 C．y2－x2 3 ＝1 D.x2 2 －y2 2 ＝1 【解析】 由双曲线定义知， 2a＝ 2＋22＋32－ 2－22＋32＝5－3＝2， ∴a＝1. 又 c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1. 【答案】 A 3．设动点 M 到 A(－5,0)的距离与它到 B(5,0)的距离的差等于 6， 则 P 点的轨迹方程是( ) A.x2 9 －y2 16 ＝1 B.y2 9 －x2 16 ＝1 C.x2 9 －y2 16 ＝1(x＜0) D.x2 9 －y2 16 ＝1(x＞0) 【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由 已知得 2c＝10， 2a＝6， ∴a＝3，c＝5，b＝4.故 P 点的轨迹方程为x2 9 －y2 16 ＝ 1(x＞0)，因此选 D. 【答案】 D 4．已知双曲线x2 6 －y2 3 ＝1 的焦点为 F1，F2，点 M 在双曲线上， 且 MF1⊥x 轴，则 F1 到直线 F2M 的距离为( ) A.3 6 5 B.5 6 6 C.6 5 D.5 6 【解析】 不妨设点 F1(－3,0)， 容易计算得出 |MF1|＝ 3 2 ＝ 6 2 ， |MF2|－|MF1|＝2 6. 解得|MF2|＝5 2 6. 而|F1F2|＝6，在直角三角形 MF1F2 中， 由1 2|MF1|·|F1F2|＝1 2|MF2|·d， 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为6 5.故选 C. 【答案】 C 5．椭圆x2 4 ＋y2 a2＝1 与双曲线x2 a －y2 2 ＝1 有相同的焦点，则 a 的值是 ( ) A.1 2 B．1 或－2 C．1 或1 2 D．1 【解析】 由于 a＞0,0＜a2＜4，且 4－a2＝a＋2，所以可解得 a ＝1，故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6．经过点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)，且焦点在 y 轴上的双曲 线的标准方程是________. 【导学号：26160046】 【 解 析 】 设 双 曲 线 的 方 程 为 mx2 ＋ ny2 ＝ 1(mn<0) ， 则 9m＋28n＝1， 72m＋49n＝1， 解得 m＝－ 1 75 ， n＝ 1 25 ， 故双曲线的标准方程为y2 25 － x2 75 ＝1. 【答案】 y2 25 －x2 75 ＝1 7．已知方程 x2 4－t ＋ y2 t－1 ＝1 表示的曲线为 C.给出以下四个判断： ①当 1＜t＜4 时，曲线 C 表示椭圆；②当 t＞4 或 t＜1 时，曲线 C 表示双曲线；③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜t＜5 2 ； ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 t＞4. 其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)． 【解析】 ①错误，当 t＝5 2 时，曲线 C 表示圆；②正确，若 C 为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1 或 t＞4；③正确，若 C 为焦点 在 x 轴上的椭圆，则 4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜5 2 ；④正确，若曲线 C 为 焦点在 y 轴上的双曲线，则 4－t＜0 t－1＞0 ，∴t＞4. 【答案】 ②③④ 8．已知 F 是双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左焦点，点 A(1,4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 【解析】 设右焦点为 F′，依题意， |PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋ 4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. 【答案】 9 三、解答题 9．求以椭圆x2 16 ＋y2 9 ＝1 短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，－ 5)的双曲线的标准方程． 【解】 由x2 16 ＋y2 9 ＝1，得 a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标 为(0，±3)，又双曲线过 A 点，由双曲线定义得 2a＝| 4－02＋－5－32－ 4－02＋－5＋32| ＝2 5，∴a＝ 5，又 c＝3， 从而 b2＝c2－a2＝4， 又焦点在 y 轴上， 所以双曲线的标准方程为y2 5 －x2 4 ＝1. 10．已知△ABC 的两个顶点 A，B 分别为椭圆 x2＋5y2＝5 的左焦 点和右焦点，且三个内角 A，B，C 满足关系式 sin B－sin A＝1 2sin C. (1)求线段 AB 的长度； (2)求顶点 C 的轨迹方程． 【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x2 5 ＋y2＝1. ∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4， 则 A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4. (2)∵sin B－sin A＝1 2sin C， ∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝1 2|AB|＝2<|AB|＝4， 即动点 C 到两定点 A，B 的距离之差为定值． ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支，并且 c＝2，a＝1， ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2－y2 3 ＝1(x>1)． [能力提升] 1．已知 F1，F2 分别为双曲线 C：x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 由题意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝2 2.因为∠F1PF2 ＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，所以(|PF1| －|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|×1 2 ＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8－22＝4. 【答案】 B 2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点 F1(－ 10，0)， F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF1 → ·MF2 → ＝0，|MF1 → |·|MF2 → | ＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x2 9 －y2＝1 B．x2－y2 9 ＝1 C.x2 3 －y2 7 ＝1 D.x2 7 －y2 3 ＝1 【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2 ＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为MF1 → ·MF2 → ＝0，故△MF1F2 为直角三 角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1 → |·|MF2 → |＝2，∴40－2×2 ＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为x2 9 －y2＝1. 【答案】 A 3．若 F1，F2 是双曲线 8x2－y2＝8 的两焦点，点 P 在该双曲线上， 且△PF1F2 是等腰三角形，则△PF1F2 的周长为________． 【解析】 双曲线 8x2－y2＝8 可化为标准方程 x2－y2 8 ＝1，所以 a ＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点 P 在该双曲线上，且△PF1F2 是等腰 三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6 时，根 据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2 的周长为 6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6 时，△PF1F2 的周长为 6＋6＋8＝20. 【答案】 16 或 20 4.如图 2－2－2，已知双曲线中 c＝2a，F1，F2 为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12 3.求双曲线的标准 方程． 【导学号：26160047】 图 2－2－2 【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1. 由于||PF1|－|PF2||＝2a， 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝ |PF1|－|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ， 所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2， 所以 S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2· 3 2 ＝ 3b2， 从而有 3b2＝12 3，所以 b2＝12，c＝2a，结合 c2＝a2＋b2，得 a2＝4. 所以双曲线的标准方程为x2 4 －y2 12 ＝1.