高考卷 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （江西卷）（附答案，完全word版） 12页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分。 第Ⅰ卷 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若 在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件 ,A B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24S R 如果事件 ,A B ，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3V R n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．“ x y ”是“ x y ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．定义集合运算:  , ,A B z z xy x A y B     .设  1,2A  ,  0,2B  ,则集合 A B 的所有 元素之和为 A．0 B．2 C．3 D．6 3．若函数 ( )y f x 的定义域是[0,2] ，则函数 (2 )( ) 1 f xg x x   的定义域是 A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D． (0,1) 4．若 0 1x y   ，则 A．3 3y x B． log 3 log 3x y C． 4 4log logx y D． 1 1( ) ( )4 4 x y 5．在数列{ }na 中， 1 2a  ， 1 1ln(1 )n na a n    ，则 na  A． 2 ln n B． 2 ( 1)lnn n  C． 2 lnn n D．1 lnn n  6．函数 sin( ) sin 2sin 2 xf x xx   是 A．以 4 为周期的偶函数 B．以 2 为周期的奇函数 C．以 2 为周期的偶函数 D．以 4 为周期的奇函数 7．已知 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，满足 1 2 0MF MF   的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是 A． (0,1) B． 1(0, ]2 C． 2(0, )2 D． 2[ ,1)2 8． 10 101(1 ) (1 )x x   展开式中的常数项为 A．1 B． 1 2 10( )C C． 1 20C D． 10 20C 9．设直线 m 与平面 相交但不．垂直，则下列说法中正确的是 A．在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不．可能与平面 平行 D．与直线 m 平行的平面不．可能与平面 垂直 10．函数 tan sin tan siny x x x x    在区间 3( , )2 2   内的图象是 11．电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻 显示的四个数字之和为 23 的概率为 A． 1 180 B． 1 288 C． 1 360 D． 1 480 12．已知函数 2( ) 2 (4 ) 4f x x m x m     ， ( )g x mx ，若对于任一实数 x ， ( )f x 与 ( )g x 的 值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 xo 3 2  2  y A 2 -  x B o 3 2  2  y 2 -  2 xo 3 2  2  y C -  xo 3 2  2  y D 2 -  A． [ 4,4] B． ( 4,4) C． ( ,4) D． ( , 4)  绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13．不等式 2 2 4 12 2 x x   的解集为 ． 14．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线方程为 3 3y x  ，若顶点到渐近线的距 离为 1，则双曲线方程为 ． 15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 AB CD、 的长度分别等于 2 7 、 4 3 ，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ． 16．如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： A． 2AC AF BC    B． 2 2AD AB AF    C． AC AD AD AB      D． ( ) ( )AD AF EF AD AF EF        其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．已知 1tan 3    ， 5cos ,5   , (0, )   A B DE CF （1）求 tan( )  的值； （2）求函数 ( ) 2 sin( ) cos( )f x x x     的最大值． 18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需 分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍 的概率分别是 0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概 率分别是 0.3、0.3、0.4． （1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率. 19．等差数列{ }na 的各项均为正数， 1 3a  ，前 n 项和为 nS ，{ }nb 为等比数列, 1 1b  ，且 2 2 64,b S  3 3 960b S  ． (1)求 na 与 nb ； (2)求和： 1 2 1 1 1 nS S S    ． 20．如图，正三棱锥O ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、F 分别是 AB 、AC 的中点， H 是 EF 的中点，过 EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或 B 1 C 1 A 1 H F E C B A O 其延长线分别相交于 1A 、 1B 、 1C ，已知 1 3 2OA  ． （1）求证： 1 1B C ⊥面OAH ； （2）求二面角 1 1 1O A B C  的大小． 21．已知函数 4 3 2 2 41 1( ) ( 0)4 3f x x ax a x a a     （1）求函数 ( )y f x 的单调区间； （2）若函数 ( )y f x 的图像与直线 1y  恰有两个交点，求 a 的取值范围． 22．已知抛物线 2y x 和三个点 0 0 0 0 0( , ) (0, ) ( , )M x y P y N x y、 、 2 0 0 0( , 0)y x y  ，过点 M 的 一条直线交抛物线于 A 、B 两点，AP BP、 的延长线分别交曲线 C 于 E F、 ． （1）证明 E F N、 、 三点共线； （2）如果 A 、 B 、 M 、 N 四点共线，问：是否存在 0y ，使以 线段 AB 为直径的圆与抛物线有异于 A 、 B 的交点？如果存在， 求出 0y 的取值范围，并求出该交点到直线 AB 的距离；若不存在， 请说明理由． 绝密★启用前 秘密★启用后 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C A A C D B D C C 1．B.因 x y ¿ x y 但 x y  x y 。 2． D .因 * {0,2,4}A B  ， 3．B. 因为 ( )f x 的定义域为[0，2]，所以对 ( )g x ， 0 2 2x  但 1x  故 [0,1)x 。 4．C 函数 4( ) logf x x 为增函数 5． A 2 1 1ln(1 )1a a   ， 3 2 1ln(1 )2a a   ，…， 1 1ln(1 )1n na a n    1 2 3 4ln( )( )( ) ( ) 2 ln1 2 3 1n na a nn      6． A sin( )( ) ( ) sin( ) 2sin 2 xf x f xxx     (4 ) ( ) (2 )f x f x f x     7. C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 2 2 2 2 2 1 2c b c b a c e       又 (0,1)e ,所以 1(0, )2e 8. D 20 10 10 10 1 (1 )(1 ) (1 ) xx x x    9. C . 10． D ..函数 2tan , tan sintan sin tan sin 2sin , tan sin x x xy x x x x x x x        当 时 当 时 11.C .一天显示的时间总共有 24 60 1440  种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为 1 360 . 12．C .当 2 16 0m    时，显然成立 当 4, (0) (0) 0m f g   时，显然不成立；当 24, ( ) 2( 2) , ( ) 4m f x x g x x      显然成立； 当 4m   时 1 2 1 20, 0x x x x   ，则 ( ) 0f x  两根为负，结论成立 故 4m   二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13. [ 3,1] 14.. 2 23 14 4 x y  15. 5 16. A、B、D 13．依题意 2 2 4 1 ( 3)( 1) 0x x x x        [ 3,1]x   14． 2 23 14 4 x y  15. 易求得 M 、 N 到球心O 的距离分别为 3、2，类比平面内圆的情形可知当 M 、 N 与球心O 共线时， MN 取最大值 5。 16. 2AC AF AC CD AD BC          , ∴ A 对 取 AD 的中点O ,则 2 2AD AO AB AF      , ∴ B 对 设 1AB  , 则 3 2 cos 36AC AD       ,而 2 1 cos 13AD AF       ,∴C 错 又 21 2 cos 1 ( )3AB AD AF        ,∴ D 对 ∴真命题的代号是 , ,A B D 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17．解：（1）由 5cos ,5   (0, )  得 tan 2  ， 2 5sin 5   于是 tan( )  = 1 2tan tan 3 121 tan tan 1 3          . （2）因为 1tan , (0, )3      所以 1 3sin ,cos 10 10     3 5 5 5 2 5( ) sin cos cos sin5 5 5 5f x x x x x     5 sin x  ( )f x 的最大值为 5 . 18．解：（1）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 ( ) 0.2 0.4 0.4 0.3 0.2P A      （2）令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 ( ) 0.2 0.6 0.4 0.6 0.4 0.3 0.48P B        19．（1）设{ }na 的公差为 d ，{ }nb 的公比为 q ，则 d 为正整数， 3 ( 1)na n d   ， 1n nb q  依题意有 2 3 3 2 2 (9 3 ) 960 (6 ) 64 S b d q S b d q         ① 解得 2,8 d q    或 6 5 40 3 d q      (舍去) 故 13 2( 1) 2 1, 8 n n na n n b       （2） 3 5 (2 1) ( 2)nS n n n       ∴ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 ( 2)nS S S n n             1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 3 5 2n n           1 1 1 1(1 )2 2 1 2n n      3 2 3 4 2( 1)( 2) n n n     20．解 ：（1）证明：依题设， EF 是 ABC 的中位线，所以 EF ∥ BC ， 则 EF ∥平面OBC ，所以 EF ∥ 1 1B C 。 又 H 是 EF 的中点，所以 AH ⊥ EF ， 则 AH ⊥ 1 1B C 。 因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥ 1 1B C ， 因此 1 1B C ⊥面OAH 。 N M B 1 C 1 A 1 H F E C B A O （2）作ON ⊥ 1 1A B 于 N ，连 1C N 。 因为 1OC ⊥平面 1 1OA B ， 根据三垂线定理知， 1C N ⊥ 1 1A B ， 1ONC 就是二面角 1 1 1O A B C  的平面角。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ，则 EM ∥OA ，则 M 是OB 的中点，则 1EM OM  。 设 1OB x ，由 1 1 1 OB OA MB EM  得， 3 1 2 x x  ，解得 3x  ， 在 1 1Rt OA B 中， 2 2 1 1 1 1 3 52A B OA OB   ，则， 1 1 1 1 3 5 OA OBON A B   。 所以 1 1tan 5OCONC ON    ，故二面角 1 1 1O A B C  为 arctan 5 。 解法二：（1）以直线OA OC OB、 、 分别为 x y、 、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz 则 1 1(2,0,0), (0,0,2), (0,2,0), (1,0,1), (1,1,0), (1, , )2 2A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1, , ), (1, , ), (0,2, 2)2 2 2 2AH OH BC       所以 0, 0AH BC OH BC       所以 BC  平面OAH 由 EF ∥ BC 得 1 1B C ∥ BC ，故： 1 1B C  平面OAH (2)由已知 1 3( ,0,0),2A 设 1(0,0, )B z 则 1 1 1( ,0,1), ( 1,0, 1)2A E EB z      由 1A E  与 1EB  共线得:存在 R  有 1 1A E EB  得 1 1 32 1 ( 1) (0,0,3) z z B            同理: 1(0,3,0)C x y z 1 1 1 1 3 3( ,0,3), ( ,3,0)2 2A B AC      设 1 1 1 1( , , )n x y z 是平面 1 1 1A B C 的一个法向量, 则 3 3 02 3 3 02 x z x y       令 2x  得 1y x  1 (2,1,1).n  又 2 (0,1,0)n  是平面 1 1OA B 的一个法量 1 2 1 6cos , 64 1 1 n n        所以二面角的大小为 6arccos 6 21. 解：（1）因为 3 2 2( ) 2 ( 2 )( )f x x ax a x x x a x a       令 ( ) 0f x  得 1 2 32 , 0,x a x x a    由 0a  时， ( )f x 在 ( ) 0f x  根的左右的符号如下表所示 x ( , 2 )a  2a ( 2 ,0)a 0 (0, )a a ( , )a  ( )f x  0  0  0  ( )f x  极小值  极大值  极小值  所以 ( )f x 的递增区间为 ( 2 ,0) ( , )a a 与 ( )f x 的递减区间为 ( 2 ) (0 )a a ， 与 ， （2）由（1）得到 45( ) ( 2 ) 3f x f a a   极小值 ， 47( ) ( ) 12f x f a a 极小值 4( ) (0)f x f a 极大值 要使 ( )f x 的图像与直线 1y  恰有两个交点，只要 4 45 713 12a a   或 4 1a  ， 即 4 12 7a  或 0 1a  . 22．（1）证明：设 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )A x x B x x、 ， ( , ) ( , )E E F FE x y B x y、 则直线 AB 的方程：   2 2 21 2 1 1 1 2 x xy x x xx x    即： 1 2 1 2( )y x x x x x   因 0 0( , )M x y 在 AB 上，所以 0 1 2 0 1 2( )y x x x x x   ① 又直线 AP 方程： 2 1 0 0 1 x yy x yx   由 2 1 0 0 1 2 x yy x yx x y      得： 2 2 1 0 0 1 0x yx x yx    所以 2 2 1 0 0 0 1 2 1 1 1 ,E E E x y y yx x x yx x x       同理， 2 0 0 2 2 2 ,F F y yx yx x    所以直线 EF 的方程： 2 01 2 0 1 2 1 2 ( ) yx xy y xx x x x    令 0x x  得 0 1 2 0 0 1 2 [( ) ]yy x x x yx x    将①代入上式得 0y y ，即 N 点在直线 EF 上 所以 , ,E F N 三点共线 （2）解：由已知 A B M N、 、 、 共线，所以  0 0 0 0, , ( , )A y y B y y 以 AB 为直径的圆的方程：  22 0 0x y y y   由  22 0 0 2 x y y y x y      得  2 2 0 0 02 1 0y y y y y     所以 0y y （舍去）， 0 1y y  要使圆与抛物线有异于 ,A B 的交点，则 0 1 0y   所以存在 0 1y  ，使以 AB 为直径的圆与抛物线有异于 ,A B 的交点  ,T TT x y 则 0 1Ty y  ，所以交点T 到 AB 的距离为  0 0 0 1 1Ty y y y    