高考数学专题复习课件：9-8 曲线与方程 54页

§9.8 　曲线与方程 [ 考纲要求 ] 　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 1 ．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C ( 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标都是 ________________ ． (2) 以这个方程的解为坐标的点都是 ___________ ．那么，这个方程叫做 _____________ ，这条曲线叫做 ___________ ． 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 2 ．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1) 建系 —— 建立适当的坐标系． (2) 设点 —— 设轨迹上的任一点 P ( x ， y ) ． (3) 列式 —— 列出动点 P 所满足的关系式． (4) 代换 —— 依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x ， y 的方程式，并化简． (5) 证明 —— 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 3 ．两曲线的交点 (1) 由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． (2) 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 【 答案 】 C 2 ．已知点 P 是直线 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 上的一个动点，定点 M ( － 1 ， 2) ， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 | PM | ＝ | MQ | ，则 Q 点的轨迹方程是 ( 　　 ) A ． 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 　　　　　　　 B ． 2 x － y － 5 ＝ 0 C ． 2 x － y － 1 ＝ 0 D ． 2 x － y ＋ 5 ＝ 0 【 解析 】 由题意知， M 为 PQ 中点，设 Q ( x ， y ) ， 则 P 为 ( － 2 － x ， 4 － y ) ， 代入 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 得 2 x － y ＋ 5 ＝ 0. 【 答案 】 D 【 答案 】 椭圆或线段 4 ． ( 教材改编 ) 和点 O (0 ， 0) ， A ( c ， 0) 距离的平方和为常数 c 的点的轨迹方程为 ________ ． 【 解析 】 设 P ( x ， y ) 为轨迹上一点，则 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － c ) 2 ＋ y 2 ＝ c ， ∴ 2 x 2 ＋ 2 y 2 － 2 cx ＋ c 2 － c ＝ 0. 【 答案 】 2 x 2 ＋ 2 y 2 － 2 cx ＋ c 2 － c ＝ 0 5 ． ( 教材改编 ) 已知 ⊙ O 方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ，过 M (4 ， 0) 的直线与 ⊙ O 交于 A ， B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为 ________ ． 【 答案 】 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4(0 ≤ x ＜ 1) 题型一　定义法求轨迹方程 【 例 1 】 已知圆 M ： ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C . 求 C 的方程． 【 方法规律 】 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解． 跟踪训练 1 已知动圆 C 与圆 C 1 ： ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 相外切，与圆 C 2 ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相内切，设动圆圆心 C 的轨迹为 T ，且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A . (1) 求轨迹 T 的方程； (2) 已知直线 l ： y ＝ kx ＋ m 与轨迹 T 相交于 M ， N 两点 ( M ， N 不在 x 轴上 ) ．若以 MN 为直径的圆过点 A ，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． 题型二　直接法求轨迹方程 命题点 1 　已知动点满足的关系式求轨迹方程 ( 或判断轨迹 ) 【 例 2 】 (2016· 课标全国 Ⅰ ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1 ， 0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 证明 | EA | ＋ | EB | 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围． (1) 当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积． (2) 求直线 AA 1 与直线 A 2 B 交点 M 的轨迹方程． 【 方法规律 】 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1) 题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程． (2) 题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 题型三　相关点法求轨迹方程 【 例 4 】 设直线 x － y ＝ 4 a 与抛物线 y 2 ＝ 4 ax 交于两点 A ， B ( a 为定值 ) ， C 为抛物线上任意一点，求 △ ABC 的重心的轨迹方程． 【 解析 】 设 △ ABC 的重心为 G ( x ， y ) ， 点 C 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ． 思想与方法系列 20 利用参数法求轨迹方程 【 典例 】 ( 12 分 ) 如图，在正方形 OABC 中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (10 ， 0) ，点 C 的坐标为 (0 ， 10) ，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A 1 ， A 2 ， … ， A 9 和 B 1 ， B 2 ， … ， B 9 ，连接 OB i ，过 A i 作 x 轴的垂线与 OB i 交于点 P i ( i ∈ N * ， 1 ≤ i ≤ 9) ． (1) 求证：点 P i ( i ∈ N * ， 1 ≤ i ≤ 9) 都在同一条抛物线上，并求该抛物线 E 的方程； (2) 过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M ， N ，若 △ OCM 与 △ OCN 的面积比为 4 ∶ 1 ，求直线 l 的方程． ► 方法与技巧 求轨迹的常用方法 (1) 直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 ( 如距离与角 ) 的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为 x 、 y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 —— 先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3) 定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹 ( 如直线或圆锥曲线 ) 的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程． (4) 代入法 ( 相关点法 ) ： 当所求动点 M 是随着另一动点 P ( 称之为相关点 ) 而运动时．如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． ► 失误与防范 1 ．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义． 2 ．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．