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- 2021-06-11 发布
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第四节
指数与指数函数
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
有理数指数幂
(1)
正分数指数幂
: (a>0,m,n∈N
*
,
且
n>1).
(2)
负分数指数幂
: = = (a>0,m,n∈N
*
,
且
n>1).
(3)0
的正分数指数幂等于
0,0
的负分数指数幂
_________
.
没有意义
2.
指数函数的图像与性质
函数
y=a
x
(a>0,
且
a≠1)
图像
a>1
00,
且
a≠1)
性
质
定义域
R
值域
________
单调性
_________
_________
函数
值变
化规
律
当
x=0
时
,____
当
x<0
时
,______;
当
x>0
时
,____
当
x<0
时
,____;
当
x>0
时
,______
(0,+∞)
单调递增
单调递减
y=1
01
y>1
00,
且
a≠1),
则
m0
且
a≠1.
(4)×.
当
a>1
时
,
由
a
m
n.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
注意有理指数幂性质的条件
考点一、
T1
2
忽略底数的取值范围
考点二、
T1
3
忽略指数函数的值域
考点二、
T3
4
忽略恒成立与存在使之成立的差异
考点三、角
度
3 T1,2
【教材
·
基础自测】
1.(
必修
1P68 A
组
T1
改编
)
化简
(x<0,y<0)
得
(
)
A.2x
2
y B.2xy C.4x
2
y D.-2x
2
y
【
解析
】
选
D.
因为
x<0,y<0,
所以
=(16x
8
·y
4
=(16 ·(x
8
·(y
4
=2x
2
|y|=-2x
2
y.
2.(
必修
1P74
例
4
改编
)
已知
a= ,b= ,c= ,
则
a,b,c
的大小关系是
(
)
A.a > ,
即
a>b>1,
又
c= < =1,
所以
c0
且
a≠1)
的解集
是
.
【
解析
】
当
a>1
时
,
函数
y=a
x
在
R
上为增函数
,
所以有
3x+1<-2x,
解得
x< ;
当
0-2x,
解得
x> .
答案
:
a>1
时
,x∈ ;00,
且
a≠1)
的图像经过点
P ,
则
f(-1)=
.
【解析】
由题意知
=a
2
,
所以
a= ,
所以
f(x)= ,
所以
f(-1)= = .
答案
:
思想方法 分类讨论思想在指数函数中的应用
【典例】
已知函数
f(x)= (a,b
是常数且
a>0,a≠1)
在区间 上有最大值
3
和最
小值
,
试求
a,b
的值
.
【解析】
令
t=x
2
+2x=(x+1)
2
-1,
因为
x∈ ,
所以
t∈[-1,0].
(1)
若
a>1,
则函数
y=a
t
在
[-1,0]
上为增函数
,
所以
a
t
∈ ,
则
b+
依题意得 解得
(2)
若
01
和
00,
且
a≠1,
函数
f(x)=
若函数
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大
值比最小值大
,
求
a
的值
.
【解析】
当
11,
则有
1≤a
x
≤a,
所以当
x∈[0,2]
时
,f(x)
max
=a.
(ⅰ)
若
1≤-2+a,
即
a≥3,
则
f(x)
min
=1.
由于
f(x)
在
[0,2]
上的最大值比最小值大
,
所以
a-1= ,
解得
a= .
(ⅱ)
若
-2+a<1,
即
a<3,
则
f(x)
min
=-2+a,
所以
a-(-2+a)= ,a
无解
.
②
若
0
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