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- 2021-06-11 发布
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高中数学 第二章 推理与证明 A 章末测试 新人教 A 版选修 1-2
(基础过关卷)
(时间:90 分钟 满分:100 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.下面说法正确的有( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理;
②演绎推理得到的结论一定是正确的;
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.观察图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A.■ B.△ C.□ D.○
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时,应假设( )
A.三角形的三个内角都不大于 60°
B.三角形的三个内角都大于 60°
C.三角形的三个内角至多有一个大于 60°
D.三角形的三个内角至少有两个大于 60°
4.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四
个侧面( )
A.各正三角形内任一点
B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
5.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直
线;已知直线 b 平面α,a 平面α,直线 b∥平面α,则直线 b∥直线 a”,这个结论显
然是错误的,这是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
6.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,
则 f2 015(x)等于( )
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
7.按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式
是( )
CH4 C2H6 C3H8
A.C4H9 B.C4H10
C.C4H11 D.C6H12
8.设 a,b 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是
( )
A.若 a,b 与α所成的角相等,则 a∥b
B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b
C.若 a α,b β,a∥b,则α∥β
D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b
9.若函数 f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点,并且不等式 f(1-x)≥-1 恒成立,则
实数 m 的取值范围为( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
10.已知 x>0,不等式 x+1
x
≥2,x+4
x2≥3,x+27
x3 ≥4,…,可推广为 x+a
xn≥n+1,
则 a 的值为( )
A.n2 B.nn C.2n D.22n-2
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.观察数列 3,3, 15, 21,3 3,…,写出该数列的一个通项公式为__________.
12.如图所示,4 个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号座位,如
果第 1 次前后排动物互换座位,第 2 次左右列动物互换座位,第 3 次前后排动物互换座位,…,
这样交替进行下去,那么第 2 014 次互换座位后,小兔坐在________号座位上.
13.已知函数 f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0,则 f(a)+
f(b)+f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”).
14.观察: 7+ 15<2 11; 5.5+ 16.5<2 11; 3- 3+ 19+ 3<2 11;….
对于任意正实数 a,b,试写出使 a+ b≤2 11成立的一个条件可以是________.
15.观察下图:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
则第__________行的各数之和等于 2 0152.
三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分)
16.(6 分)已知数列{an}的通项公式 an= 1
n+1 2(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1
-an),试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的值.
17.(6 分)已知实数 x,且有 a=x2+1
2
,b=2-x,c=x2-x+1,求证 a,b,c 中至少
有一个不小于 1.
18.(6 分)通过计算可得下列等式:
22-12=2×1+1;
32-22=2×2+1;
42-32=2×3+1;
…
(n+1)2-n2=2n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即 1+2+3+…
+n=n n+1
2
.
类比上述方法,请你求出 12+22+32+…+n2 的值.
19.(7 分)求证: 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 < n+1 2
2
.
参考答案
一、1.解析:演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故
②错误,其他说法都正确.故选 C.
答案:C
2.A
3.解析:“至少有一个不大于”的否定为“都大于”.
答案:B
4.解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以
边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.
答案:C
5.解析:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大
前提是错误的.故选 A.
答案:A
6.解析:由题意可知,函数 fn(x)的表达式呈周期性变化,周期为 4,而 2 015=4×503
+3,
则 f2 015(x)=f3(x)=-cos x,故选 D.
答案:D
7.解析:由规律不难看出每增加 1 个 C 原子,相应地增加 2 个 H 原子,因此后一种化
合物的分子式为 C4H10.
答案:B
8.解析:对于选项 A,直线 a,b 有可能相交;对于选项 B,直线 a,b 有可能相交或异
面;对于选项 C,平面α,β有可能相交;对于选项 D,若 a⊥α,b⊥β,当 a β时,有
b⊥a,当 a β时,∵α⊥β,∴a∥β,∴b⊥a,故选 D.
答案:D
9.解析:∵f(x)=x2-2x+m 有两个零点,
∴4-4m>0,∴m<1.
由 f(1-x)≥-1 得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1,
即 x2+m≥0,∴m≥-x2.
∵-x2 的最大值为 0,∴0≤m<1.
答案:B
10.解析:由 x+1
x
≥2,x+4
x2=x+22
x2≥3,
x+27
x3 =x+33
x3≥4,…,
可推广为 x+nn
xn≥n+1,故 a=nn.
答案:B
二、11.解析:将各项统一写成根式形式为 3, 9, 15, 21, 27,…,即 3×1, 3×3,
3×5, 3×7, 3×9,…,被开方数是正奇数的 3 倍,
故 an= 3 2n-1 ,n∈N*.
答案:an= 3 2n-1 ,n∈N*
12.解析:由题意得第 4 次互换座位后,4 个小动物又回到了原座位,即每经过 4 次互
换座位后,小动物回到原座位,而 2 014=4×503+2,所以第 2 014 次互换座位后的结果
与第 2 次互换座位后的结果相同,故小兔坐在 2 号座位上.
答案:2
13.解析:f(x)是 R 上的奇函数,且是增函数,由 a+b>0,得 a>-b,∴f(a)>f(-
b)=-f(b).∴f(a)+f(b)>0,
同理,得 f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
三式相加,整理得 f(a)+f(b)+f(c)>0.
答案:大
14.解析:通过观察可看出题干中每个不等式左边根号内的数的和均为 22,故可猜想
出 a+b=22.
答案:a+b=22
15.解析:经观察知,图中的第 n 行的各数构成一个首项为 n,公差为 1,共(2n-1)
项的等差数列,其各项和为
Sn=(2n-1)n+ 2n-1 2n-2
2
=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.
令(2n-1)2=2 0152,得 2n-1=2 015,故 n=1 008.
答案:1 008
三、16.解:因为 an= 1
n+1 2,
f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),
所以 f(1)=1-a1=1-1
4
=3
4
,
f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·
1-1
9
=3
4
×8
9
=2
3
=4
6
,
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)·
1- 1
16
=2
3
×15
16
=5
8
,
由此猜想:f(n)= n+2
2 n+1
.
17.证明:假设 a,b,c 都小于 1,即 a<1,b<1,c<1,则 a+b+c<3.
∵a+b+c=
x2+1
2 +(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+7
2
=2
x-1
2 2+3,且 x 为实数,
∴2
x-1
2 2+3≥3,即 a+b+c≥3,这与 a+b+c<3 矛盾.
∴假设不成立,原命题成立.
∴a,b,c 中至少有一个不小于 1.
18.解:23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,
(n+1)3-n3=3n2+3n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)
+n,
所以 12+22+32+…+n2
=1
3
n+1 3-1-n-3×n n+1
2
=n n+1 2n+1
6
.
19.证法一:构造 f(x)=(1+2+…+n)x2+2[ 1·2+ 2·3+…+ n n+1 ]x+(2
+…+n+1)=(x+ 2)2+( 2x+ 3)2+…+( nx+ n+1)2>0,
∵1+2+…+n>0,
∴Δ=4[ 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 ]2-4(1+2+…+n)(2+3+…+n+1)<
0,
即 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 <n n+1
2
< n+1 2
2
.
证法二:用放缩法证明如下:
∵ n· n+1 < n+1· n+1 =n+1,
∴ 1·2+ 2·3+…+ n· n+1
<2+3+4+…+n+1=n n+1
2
< n+1 2
2
.
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