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  • 2021-06-11 发布

高中数学第二章推理与证明A章末测试新人教A版选修1-2

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高中数学 第二章 推理与证明 A 章末测试 新人教 A 版选修 1-2 (基础过关卷) (时间:90 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下面说法正确的有( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理; ②演绎推理得到的结论一定是正确的; ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式; ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.观察图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A.■ B.△ C.□ D.○ 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时,应假设( ) A.三角形的三个内角都不大于 60° B.三角形的三个内角都大于 60° C.三角形的三个内角至多有一个大于 60° D.三角形的三个内角至少有两个大于 60° 4.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四 个侧面( ) A.各正三角形内任一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 5.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直 线;已知直线 b  平面α,a 平面α,直线 b∥平面α,则直线 b∥直线 a”,这个结论显 然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 6.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*, 则 f2 015(x)等于( ) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 7.按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式 是( ) CH4 C2H6 C3H8 A.C4H9 B.C4H10 C.C4H11 D.C6H12 8.设 a,b 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是 ( ) A.若 a,b 与α所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a α,b β,a∥b,则α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b 9.若函数 f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点,并且不等式 f(1-x)≥-1 恒成立,则 实数 m 的取值范围为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 10.已知 x>0,不等式 x+1 x ≥2,x+4 x2≥3,x+27 x3 ≥4,…,可推广为 x+a xn≥n+1, 则 a 的值为( ) A.n2 B.nn C.2n D.22n-2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.观察数列 3,3, 15, 21,3 3,…,写出该数列的一个通项公式为__________. 12.如图所示,4 个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号座位,如 果第 1 次前后排动物互换座位,第 2 次左右列动物互换座位,第 3 次前后排动物互换座位,…, 这样交替进行下去,那么第 2 014 次互换座位后,小兔坐在________号座位上. 13.已知函数 f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0,则 f(a)+ f(b)+f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”). 14.观察: 7+ 15<2 11; 5.5+ 16.5<2 11; 3- 3+ 19+ 3<2 11;…. 对于任意正实数 a,b,试写出使 a+ b≤2 11成立的一个条件可以是________. 15.观察下图: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________行的各数之和等于 2 0152. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分) 16.(6 分)已知数列{an}的通项公式 an= 1 n+1 2(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1 -an),试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的值. 17.(6 分)已知实数 x,且有 a=x2+1 2 ,b=2-x,c=x2-x+1,求证 a,b,c 中至少 有一个不小于 1. 18.(6 分)通过计算可得下列等式: 22-12=2×1+1; 32-22=2×2+1; 42-32=2×3+1; … (n+1)2-n2=2n+1. 将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即 1+2+3+… +n=n n+1 2 . 类比上述方法,请你求出 12+22+32+…+n2 的值. 19.(7 分)求证: 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 < n+1 2 2 . 参考答案 一、1.解析:演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故 ②错误,其他说法都正确.故选 C. 答案:C 2.A 3.解析:“至少有一个不大于”的否定为“都大于”. 答案:B 4.解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以 边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心. 答案:C 5.解析:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大 前提是错误的.故选 A. 答案:A 6.解析:由题意可知,函数 fn(x)的表达式呈周期性变化,周期为 4,而 2 015=4×503 +3, 则 f2 015(x)=f3(x)=-cos x,故选 D. 答案:D 7.解析:由规律不难看出每增加 1 个 C 原子,相应地增加 2 个 H 原子,因此后一种化 合物的分子式为 C4H10. 答案:B 8.解析:对于选项 A,直线 a,b 有可能相交;对于选项 B,直线 a,b 有可能相交或异 面;对于选项 C,平面α,β有可能相交;对于选项 D,若 a⊥α,b⊥β,当 a β时,有 b⊥a,当 a β时,∵α⊥β,∴a∥β,∴b⊥a,故选 D. 答案:D 9.解析:∵f(x)=x2-2x+m 有两个零点, ∴4-4m>0,∴m<1. 由 f(1-x)≥-1 得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1, 即 x2+m≥0,∴m≥-x2. ∵-x2 的最大值为 0,∴0≤m<1. 答案:B 10.解析:由 x+1 x ≥2,x+4 x2=x+22 x2≥3, x+27 x3 =x+33 x3≥4,…, 可推广为 x+nn xn≥n+1,故 a=nn. 答案:B 二、11.解析:将各项统一写成根式形式为 3, 9, 15, 21, 27,…,即 3×1, 3×3, 3×5, 3×7, 3×9,…,被开方数是正奇数的 3 倍, 故 an= 3 2n-1 ,n∈N*. 答案:an= 3 2n-1 ,n∈N* 12.解析:由题意得第 4 次互换座位后,4 个小动物又回到了原座位,即每经过 4 次互 换座位后,小动物回到原座位,而 2 014=4×503+2,所以第 2 014 次互换座位后的结果 与第 2 次互换座位后的结果相同,故小兔坐在 2 号座位上. 答案:2 13.解析:f(x)是 R 上的奇函数,且是增函数,由 a+b>0,得 a>-b,∴f(a)>f(- b)=-f(b).∴f(a)+f(b)>0, 同理,得 f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0. 三式相加,整理得 f(a)+f(b)+f(c)>0. 答案:大 14.解析:通过观察可看出题干中每个不等式左边根号内的数的和均为 22,故可猜想 出 a+b=22. 答案:a+b=22 15.解析:经观察知,图中的第 n 行的各数构成一个首项为 n,公差为 1,共(2n-1) 项的等差数列,其各项和为 Sn=(2n-1)n+ 2n-1 2n-2 2 =(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2. 令(2n-1)2=2 0152,得 2n-1=2 015,故 n=1 008. 答案:1 008 三、16.解:因为 an= 1 n+1 2, f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an), 所以 f(1)=1-a1=1-1 4 =3 4 , f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)· 1-1 9 =3 4 ×8 9 =2 3 =4 6 , f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)· 1- 1 16 =2 3 ×15 16 =5 8 , 由此猜想:f(n)= n+2 2 n+1 . 17.证明:假设 a,b,c 都小于 1,即 a<1,b<1,c<1,则 a+b+c<3. ∵a+b+c= x2+1 2 +(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+7 2 =2 x-1 2 2+3,且 x 为实数, ∴2 x-1 2 2+3≥3,即 a+b+c≥3,这与 a+b+c<3 矛盾. ∴假设不成立,原命题成立. ∴a,b,c 中至少有一个不小于 1. 18.解:23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…, (n+1)3-n3=3n2+3n+1. 将以上各式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n) +n, 所以 12+22+32+…+n2 =1 3 n+1 3-1-n-3×n n+1 2 =n n+1 2n+1 6 . 19.证法一:构造 f(x)=(1+2+…+n)x2+2[ 1·2+ 2·3+…+ n n+1 ]x+(2 +…+n+1)=(x+ 2)2+( 2x+ 3)2+…+( nx+ n+1)2>0, ∵1+2+…+n>0, ∴Δ=4[ 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 ]2-4(1+2+…+n)(2+3+…+n+1)< 0, 即 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 <n n+1 2 < n+1 2 2 . 证法二:用放缩法证明如下: ∵ n· n+1 < n+1· n+1 =n+1, ∴ 1·2+ 2·3+…+ n· n+1 <2+3+4+…+n+1=n n+1 2 < n+1 2 2 .