高中数学第6章（第2课时）不等式的性质（2） 5页

课 题：不等式的性质（2）‎ 教学目的：‎ ‎1理解同向不等式，异向不等式概念；‎ ‎2理解不等式的性质定理1—3及其证明；‎ ‎3理解证明不等式的逻辑推理方法．‎ ‎4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯 教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件 教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则 ‎2定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法:‎ 引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．判断两个实数大小的充要条件是：‎ ‎2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?‎ ‎(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?‎ 从而引出不等式的性质及其证明方法．‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(对称性)‎ ‎ 即：a>bbb 证明：∵a>b ∴a-b>0‎ 由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0‎ 即b-a<0 ∴bb，则和谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．‎ 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)‎ ‎ 即a>b，b>ca>c 证明：∵a>b，b>c ∴a-b>0， b-c>0‎ ‎ 根据两个正数的和仍是正数，得 ‎ (a-b)+( b-c)>0 即a -c>0‎ ‎∴a>c 根据定理l，定理2还可以表示为：cb，那么a+c>b+c．‎ ‎ 即a>ba+c>b+c 证明：∵a>b， ∴a-b>0， ‎ ‎ ∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c 点评：(1)定理3的逆命题也成立；‎ ‎(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．‎ 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则) ‎ ‎ 即a>b， c>d a+c>b+d．‎ 证法一：‎ a+c>b+d 证法二：‎ a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；‎ ‎（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；‎ 三、讲解范例：‎ 例 已知a>b，cb-d．(相减法则)‎ 分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的 证法一：∵a＞b，c＜d ‎∵a－b＞0，d－c＞0‎ ‎∴（a－c）－（b－d）‎ ‎＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数)‎ 故a－c＞b－d 思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的 证法二：∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b ‎∴a＋（－c）＞b＋（－d）‎ ‎∴a－c＞b－d 四、课堂练习：‎ ‎1判断下列命题的真假，并说明理由：‎ ‎(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；‎ ‎(2)如果a＞b，那么＞‎ 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3‎ ‎(2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时，＜即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负 ‎2回答下列问题：‎ ‎（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明；‎ ‎(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论 ‎(2)不能断定例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3‎ ‎3求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；‎ ‎(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b 证明：(1)‎ ‎(2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b ‎4已和a＞b＞c＞d＞0，且，求证：a＋d＞b＋c 证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∴（a－b）d＝（c－d）b 又∵a＞b＞c＞d＞0‎ ‎∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1‎ ‎∴＞1‎ ‎∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c 评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧 五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞bb＜a＝、传递性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法 六、课后作业：‎ ‎1．如果，求不等式同时成立的条件．‎ 解：‎ ‎2．已知， 求证：‎ 证：∵ ∴‎ 又∵ ∴>0 ∴‎ ‎∵ 且 ‎∴‎ ‎3．已知 比较与的大小．‎ 解：- ‎ 当时∵即 ‎ ∴ ∴<‎ 当时∵即 ‎ ∴ ∴>‎ ‎4．如果 求证：‎ 证： ∵ ∴ ∴‎ ‎ ∵ ∴ ∴‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎