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- 2021-06-11 发布
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4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1. 函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】 因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线,又f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,故函数零点所在的一个区间是(-1,0).故选B.
【答案】 B
2. 函数f(x)=的零点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【解析】 由f(x)==0得x=1,
∴f(x)=只有一个零点.
【答案】 B
3. 若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a>1
C.a≤1 D.a≥1
【解析】 由题意知,Δ=4-4a<0,∴a>1.
【答案】 B
4. 函数f(x)=log3x+x-3零点所在大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
【解析】 ∵f(x)=log3x+x-3,
∴f(1)=log31+1-3=-2<0,
f(2)=log32+2-3=log32-1<0,
f(3)=log33+3-3=1>0,
f(4)=log34+4-3=log34+1>0,
f(5)=log35+5-3=log35+2>0,
∴函数f(x)=log3x+x-3零点所在大致区间是(2,3).故选B.
5
【答案】 B
5. 设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
【解析】 因为f=-ln =+1>0,
f(1)=-ln 1=>0,
f(e)=e-ln e=e-1<0.
故函数f(x)在内无零点,在区间(1,e)内有零点.
【答案】 C
二、填空题
6. 函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是________.
【解析】 由题意(-6)2-6m-6=0,解得m=5,
由x2+5x-6=0,解得x1=-6,x2=1.故另一个零点为1.
【答案】 1
7. 若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
【解析】 函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,由函数的图像(如图所示),可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.
【答案】 (1,+∞)
8. 已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
5
【解析】 ∵2<a<3<b<4,
当x=2时,
f(2)=loga2+2-b<0;
当x=3时,f(3)=loga3+3-b>0,
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内,∴n=2.
【答案】 2
三、解答题
9. 求函数y=ax2-(2a+1)x+2(a∈R)的零点.
【解】 令y=0并化为:(ax-1)(x-2)=0.
当a=0时,函数为y=-x+2,则其零点为x=2;
当a=时,则由(x-2)=0,
解得x1=x2=2,则其零点为x=2;
当a≠0且a≠时,则由(ax-1)(x-2)=0,
解得x=或x=2,则其零点为x=或x=2.
10. 关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求实数m的取值范围.
【解】 令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
依题意得或
即或解得-
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