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  • 2021-06-11 发布

2020高中数学第四章函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

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‎4.1.1‎‎ 利用函数性质判定方程解的存在 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、选择题 ‎ 1. 函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(  )‎ A.(-2,-1)    B.(-1,0)‎ C.(0,1) D.(1,2)‎ ‎【解析】 因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线,又f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,故函数零点所在的一个区间是(-1,0).故选B.‎ ‎【答案】 B ‎ 2. 函数f(x)=的零点有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【解析】 由f(x)==0得x=1,‎ ‎∴f(x)=只有一个零点.‎ ‎【答案】 B ‎ 3. 若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a<1 B.a>1‎ C.a≤1 D.a≥1‎ ‎【解析】 由题意知,Δ=4-‎4a<0,∴a>1.‎ ‎【答案】 B ‎ 4. 函数f(x)=log3x+x-3零点所在大致区间是(  )‎ A.(1,2) B.(2,3)‎ C.(3,4) D.(4,5)‎ ‎【解析】 ∵f(x)=log3x+x-3,‎ ‎∴f(1)=log31+1-3=-2<0,‎ f(2)=log32+2-3=log32-1<0,‎ f(3)=log33+3-3=1>0,‎ f(4)=log34+4-3=log34+1>0,‎ f(5)=log35+5-3=log35+2>0,‎ ‎∴函数f(x)=log3x+x-3零点所在大致区间是(2,3).故选B.‎ 5‎ ‎【答案】 B ‎ 5. 设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)(  )‎ A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 D.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 ‎【解析】 因为f=-ln =+1>0,‎ f(1)=-ln 1=>0,‎ f(e)=e-ln e=e-1<0.‎ 故函数f(x)在内无零点,在区间(1,e)内有零点.‎ ‎【答案】 C 二、填空题 ‎ 6. 函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是________.‎ ‎【解析】 由题意(-6)2-‎6m-6=0,解得m=5,‎ 由x2+5x-6=0,解得x1=-6,x2=1.故另一个零点为1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎ 7. 若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【解析】 函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,由函数的图像(如图所示),可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.‎ ‎【答案】 (1,+∞)‎ ‎ 8. 已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.‎ 5‎ ‎【解析】 ∵2<a<3<b<4,‎ 当x=2时,‎ f(2)=loga2+2-b<0;‎ 当x=3时,f(3)=loga3+3-b>0,‎ ‎∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内,∴n=2.‎ ‎【答案】 2‎ 三、解答题 ‎ 9. 求函数y=ax2-(‎2a+1)x+2(a∈R)的零点.‎ ‎【解】 令y=0并化为:(ax-1)(x-2)=0.‎ 当a=0时,函数为y=-x+2,则其零点为x=2;‎ 当a=时,则由(x-2)=0,‎ 解得x1=x2=2,则其零点为x=2;‎ 当a≠0且a≠时,则由(ax-1)(x-2)=0,‎ 解得x=或x=2,则其零点为x=或x=2.‎ ‎ 10. 关于x的方程mx2+2(m+3)x+‎2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求实数m的取值范围.‎ ‎【解】 令g(x)=mx2+2(m+3)x+‎2m+14.‎ 依题意得或 即或解得-