高中人教a版数学必修4：第13课时 正切函数的图象与性质 word版含解析 4页

第 13 课时 正切函数的图象与性质 课时目标 1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题． 2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题． 识记强化 1．正切函数 y＝tanx 的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω|. 2．正切函数 y＝tanx 的定义域为 x|x∈R，x≠π 2 ＋kπ，k∈Z ，值域为 R. 3．正切函数 y＝tanx 在每一个开区间 －π 2 ＋kπ，π 2 ＋kπ ，k∈Z 内均为增函数． 4．正切函数 y＝tanx 为奇函数． 5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心 坐标是 kπ 2 ，0 (k∈Z)．正切函数无对称轴． 课时作业 一、选择题 1．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( ) A.π 4 B.π 2 C．π D．2π 答案：B 2．函数 f(x)＝ tanx 1＋cosx 的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A 解析：要使函数 f(x)＝ tanx 1＋cosx 有意义， 必须使 x≠kπ＋π 2 k∈Z 1＋cosx≠0 ， 即 x≠kπ＋π 2 且 x≠(2k＋1)π，k∈Z. 所以函数 f(x)＝ tanx 1＋cosx 的定义域关于原点对称． 又因为 f(－x)＝ tan－x 1＋cos－x ＝ －tanx 1＋cosx ＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝ tanx 1＋cosx 为奇函数．故选 A. 3．下列函数中，周期为π，且在 0，π 2 上单调递增的是( ) A．y＝tan|x| B．y＝|tanx| C．y＝sin|x| D．y＝|cosx| 答案：B 解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题． 4．函数 y＝tan(x 2 ＋π 3)的单调递增区间是( ) A．(－∞，＋∞) B. 2kπ－5π 6 ，2kπ＋π 6 ，k∈Z C. 2kπ－5π 3 ，2kπ＋π 3 ，k∈Z D. kπ－5π 3 ，kπ＋π 3 ，k∈Z 答案：C 解析：由 y＝tanx 的单调递增区间为 kπ－π 2 ，kπ＋π 2 ， ∴kπ－π 2 ＜x 2 ＋π 3 ＜kπ＋π 2 ，k∈Z ⇒2kπ－5π 3 ＜x＜2kπ＋π 3 ，k∈Z.故选 C. 5．函数 y＝tan x＋π 5 的一个对称中心是( ) A．(0,0) B. π 5 ，0 C. 4π 5 ，0 D．(π，0) 答案：C 解析：令 x＋π 5 ＝kπ 2 ，得 x＝kπ 2 －π 5 ，k∈Z，∴函数 y＝tan x＋π 5 的对称中心是 kπ 2 －π 5 ，0 . 令 k＝2，可得函数的一个对称中心为 4π 5 ，0 . 6．已知函数 y＝tanωx 在 －π 2 ，π 2 内是减函数，则( ) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 答案：B 解析：∵y＝tanωx 在 －π 2 ，π 2 内是减函数，∴ω<0 且 T＝ π |ω| ≥π，∴－1≤ω<0. 二、填空题 7．函数 y＝ 1 1＋tanx 的定义域是________． 答案： xx∈R，x≠kπ＋π 2 且 x≠kπ－π 4 ，k∈Z 解析：要使函数 y＝ 1 1＋tanx 有意义，只需 1＋tanx≠0 x≠π 2 ＋kπ ，k∈Z，解得 x≠kπ＋π 2 且 x≠kπ －π 4 ，k∈Z.∴函数 y＝ 1 1＋tanx 的定义域为 xx≠kπ＋π 2 且 x≠kπ－π 4 ，k∈Z . 8．方程 x－tanx＝0 的实根有________个． 答案：无数 解析：方程 x－tanx＝0 的实根个数就是直线 y＝x 与 y＝tanx 的图象的交点的个数，由 于 y＝tanx 的值域为 R，所以直线 y＝x 与函数 y＝tanx 图象的交点有无数个． 9．直线 y＝a(a 为常数)与曲线 y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离 为________． 答案：π ω 解析：∵ω>0，∴函数 y＝tanωx 的周期为π ω ，∴两交点间的距离为π ω. 三、解答题 10．求函数 y＝tan x 2 －π 3 的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心． 解：①由x 2 －π 3 ≠kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 x≠2kπ＋5π 3 ，k∈Z. ∴函数的定义域为 xx≠2kπ＋5π 3 ，k∈Z . ②T＝π 1 2 ＝2π，∴函数的最小正周期为 2π. ③由 kπ－π 20 x≠kπ＋π 2 ，k∈Z ，即－1≤tanx<1. 在 －π 2 ，π 2 内，满足上述不等式的 x 的取值范围是 －π 4 ，π 4 . 又 y＝tanx 的周期为π， 所以所求 x 的取值范围是 kπ－π 4 ，kπ＋π 4 (k∈Z)． 即函数的定义域为 kπ－π 4 ，kπ＋π 4 (k∈Z)． 能力提升 12．已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π 2)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则 f π 24 ＝ ________. 答案： 3 解析：由图像知T 2 ＝3 8π－π 8 ＝π 4 ，T＝π 2 ，ω＝2， 2×π 8 ＋φ＝π 2 ＋kπ，φ＝π 4 ＋kπ，k∈Z. 又|φ|＜π 2 ，∴φ＝π 4. ∵函数 f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atanπ 4 ＝A＝1. ∴f(x)＝tan 2x＋π 4 . ∴f π 24 ＝tan 2× π 24 ＋π 4 ＝tanπ 3 ＝ 3. 13．已知函数 f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1， 3]，其中θ∈ －π 2 ，π 2 . (1)当θ＝－π 6 时，求函数的最大值和最小值； (2)求θ的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－1， 3]上是单调函数． 解：(1)当θ＝－π 6 时，f(x)＝x2－2 3 3 x－1＝ x－ 3 3 2－4 3. ∵x∈[－1， 3]， ∴当 x＝ 3 3 时，f(x)取得最小值－4 3 ， 当 x＝－1 时，f(x)取得最大值2 3 3 . (2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于 x 的二次函数，它的图象的对称轴为 x＝－tanθ. ∵y＝f(x)在区间[－1， 3]上是单调函数， ∴－tanθ≤－1 或－tanθ≥ 3，即 tanθ≥1 或 tanθ≤－ 3. 又θ∈ －π 2 ，π 2 ， ∴θ的取值范围是 －π 2 ，－π 3 ∪ π 4 ，π 2 .