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- 2021-06-11 发布
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.2 对数与对数函数
4.2.3 对数函数的性质与图像
第1课时 对数函数的性质与图像
必备知识
·
探新知
关键能力
·
攻重难
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
素养目标
·
定方向
素养目标
·
定方向
课程标准
学法解读
1.
理解对数函数的概念.
2
.初步掌握对数函数的性质与图像.
理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像,发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.
必备知识
·
探新知
函数
y
=
_________
称为对数函数,其中
a
是常数,
a
>
0
且
a
≠1
.
思考:
(1)
对数函数的定义域是什么?为什么?
(2)
对数函数的解析式有何特征?
提示:
(1)
定义域为
x
>
0
,因为负数和零没有对数.
(2)
①
a
>
0
,且
a
≠
1
;
②
log
a
x
的系数为
1
;
③
自变量
x
的系数为
1
.
对数函数
知识点
一
log
a
x
对数函数的性质与图像
知识点
二
(0
,+∞
)
R
定点
(1,0)
是减函数
是增函数
底数
x
的范围
y
的范围
a
>
1
x
>
1
?
0
<
x
<
1
?
0
<
a
<
1
x
>
1
?
0
<
x
<
1
?
提示:
(1)
当
x
=
1
时,
log
a
1
=
0
恒成立,即对数函数的图像一定过点
(1,0)
.
(2)
底数
x
的范围
y
的范围
a
>
1
x
>
1
y
>
0
0
<
x
<
1
y
<
0
0
<
a
<
1
x
>
1
y
<
0
0
<
x
<
1
y
>
0
关键能力
·
攻重难
对数函数的概念
题型探究
题型
一
指出下列函数哪些是对数函数?
(1)
y
=
2log
3
x
;
(2)
y
=
log
5
x
;
(3)
y
=
log
x
2
;
(4)
y
=
log
2
x
+
1
.
典例剖析
典例
1
[
解析
]
(1)log
3
x
的系数是
2
,不是
1
,不是对数函数.
(2)
是对数函数.
(3)
自变量在底数位置,不是对数函数.
(4)
对数式
log
2
x
后又加
1
,不是对数函数.
规律方法:
判断一个函数是对数函数必须是形如
y
=
log
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的形式,即必须满足以下条件:
(1)
系数为
1
.
(2)
底数为大于
0
且不等于
1
的常数.
(3)
对数的真数仅有自变量
x
.
1
.
(1)
下列函数是对数函数的是
(
)
A
.
y
=
log
a
(2
x
) B
.
y
=
lg 10
x
C
.
y
=
log
a
(
x
2
+
x
) D
.
y
=
ln
x
(2)
若某对数函数的图像过点
(4,2)
,则该对数函数的解析式为
(
)
A
.
y
=
log
2
x
B
.
y
=
2log
4
x
C
.
y
=
log
2
x
或
y
=
2log
4
x
D
.不确定
对点训练
D
A
[
解析
]
(1)
由对数函数的定义,知
D
正确.
(2)
设所求对数函数的解析式为
y
=
log
a
x
(
a
>
0
,
a
≠
1)
,由题意,得
2
=
log
a
4
,
∴
a
=
2
,
∴
所求对数函数的解析式为
y
=
log
2
x
.
求函数的定义域
题型
二
典例剖析
典例
2
[
分析
]
函数的定义域是使函数有意义的自变量
x
的允许取值范围.求定义域时,要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解.
规律方法:求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)
分母不能为
0
.
(2)
根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)
对数的真数大于
0
,底数大于
0
且不为
1
.
对点训练
应用对数函数的单调性比较数的大小
题型
三
比较下列各组中两个数的大小:
(1)log
2
3.4
和
log
2
8.5
;
(2)log
0.5
3.8
和
log
0.5
2
;
(3)log
0.5
3
和
1; (4)log
2
0.5
和
0
;
(5)log
0.3
0.7
和
0; (6)log
3
4
和
0
.
典例剖析
典例
3
[
分析
]
(1)(2)
中两数同底数,不同真数,可直接利用对数函数的单调性比较大小;
(3)
中将
1
化为
log
0.5
0.5
,
(4)
中将
0
化为
log
2
1
,
(5)
中将
0
化为
log
0.3
1
,
(6)
中将
0
化为
log
3
1
,然后再利用对数函数的单调性比较大小.
[
解析
]
(1)
∵
y
=
log
2
x
在
x
∈
(0
,
+
∞
)
上为增函数,且
3.4
<
8.5
,
∴
log
2
3.4
<
log
2
8.5
.
(2)
∵
y
=
log
0.5
x
在
x
∈
(0
,
+
∞
)
上为减函数,且
3.8
>
2
,
∴
log
0.5
3.8
<
log
0.5
2
.
(3)
∵
1
=
log
0.5
0.5
,
∴
log
0.5
3
<
log
0.5
0.5
,
∴
log
0.5
3
<
1
.
(4)
∵
0
=
log
2
1
,
∴
log
2
0.5
<
log
2
1
,
∴
log
2
0.5
<
0
.
(5)
∵
0
=
log
0.3
1
,
∴
log
0.3
0.7
>
log
0.3
1
,
∴
log
0.3
0.7
>
0
.
(6)
∵
0
=
log
3
1
,
∴
log
3
4
>
log
3
1
,
∴
log
3
4
>
0
.
规律方法:比较对数的大小,主要依据对数函数的单调性.
(1)
若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)
若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以先画出函数的图像,再进行比较.
(3)
若底数与真数都不同,则常借助
1
、
0
等中间量进行比较.
对点训练
D
B
解不等式
log
a
(2
x
-
5)
>
log
a
(
x
-
1)
.
典例剖析
典例
4
易错警示
[
辨析
]
误解中默认为底数为
a
>
1
,没有对底数
a
分类讨论.
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
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