广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试（重点班）理科数学试题 Word版含解析 22页

南宁三中2019~2020学年度下学期高二期考 理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算进行化简，然后在利用共轭复数的定义和复数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由共轭复数的定义知，，‎ 由复数的几何意义可知，在复平面对应的点为，位于第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的定义和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.‎ ‎2. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．‎ 考点：推理与证明．‎ ‎3. 用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出 时，等式的左边，比较可得所求．‎ ‎【详解】当时，等式的左边为，‎ 当 时，等式的左边为，‎ 故从“到”，左边所要添加的项是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．‎ ‎4. 已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 最大值为 B. 最小值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 是它的极大值点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数分析函数在区间上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误.‎ ‎【详解】，则.‎ 令，可得或；令，可得.‎ 当时，函数在区间,上均为增函数，‎ - 22 -‎ 在区间上为减函数，C选项错误；‎ 所以是函数的极大值点，D选项正确；‎ 因为，，，，‎ 所以，函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为，A、B选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5. 抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件为“两个点数不同”，事件为“两个点数中最大点数为4”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有种，其中记事件为“两个点数不同”的基本事件共有种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有种，‎ 其中记事件为“两个点数不同”的基本事件共有种，‎ 又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：，共有6种，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ - 22 -‎ 本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．‎ ‎【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,‎ ‎,选择D答案．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．‎ ‎7. 年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻 分2步进行分析：‎ - 22 -‎ ‎①领导和队长站在两端，有种情况，‎ ‎②中间人分种情况讨论：‎ 若相邻且与相邻，有种安排方法，‎ 若相邻且不与相邻，有种安排方法，‎ 则中间人有种安排方法，‎ 则有种不同的安排方法；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎8. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．‎ ‎【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．‎ 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．‎ 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，‎ 则甲队以获胜的概率是：‎ ‎．‎ 甲队以获胜概率是：‎ 则甲队不超过场即获胜的概率 故选：C - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎9. 电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求连通的概率，再求连通的概率，然后求连通的概率.‎ ‎【详解】先考虑没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为.‎ 所以连通的概率.‎ 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为,‎ 所以没有连通的概率为：.‎ 则之间没有连通的概率 所以连通的概率，‎ 所以连通的概率. ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.‎ ‎10. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据可知，‎ 令为增函数，‎ 所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.‎ 考点：函数导数与不等式，恒成立问题．‎ ‎11. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）‎ A. 680 B. 640 C. 180 D. 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据正态分布的相关性质以及得出，然后根据二项分布的展开式找出展开式中包含的项，最后通过计算即可得出结果.‎ ‎【详解】因为随机变量，，‎ 所以，代入可得，‎ 故展开式中包含项为：‎ ‎，系数为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正态分布以及二项分布的相关性质，主要考查根据二项分布的展开式的相关性质求特殊项的系数，考查计算能力，是中档题.‎ - 22 -‎ ‎12. 在上可导的函数，当时取得极大值，当 时取得极小值，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在由所构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知 考点：函数极值及线性规划 点评：函数在极值点处的导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. 从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选的不同选法的种数为______.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从10人中任选3人担任村长，去掉没有甲、乙2人的情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】从10人中任选3人担任村长，去掉没有甲、乙2人的情况 故答案为：64‎ ‎【点睛】本题考查了组合问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.‎ ‎14. 定积分的值______.‎ ‎【答案】1‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为，再利用微积分基本定理求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.‎ ‎15. 已知，则____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令以及令，即可求得结果.‎ ‎【详解】由，‎ 令x=0可得：2=a0+a1++a5；‎ 令x=−2可得：0=a0−a1+a2+−a5.‎ 相减可得：2(a1+a3+a5)=2，‎ 则a1+a3+a5=1.‎ 故答案为：.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查通过赋值法求系数和，属基础题.‎ ‎16. 已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为有零点，利用的最值，和的最值根据等号成立的条件求解参数的取值.‎ ‎【详解】构造函数：，‎ 存在实数使成立，‎ 即有解，‎ 考虑函数，‎ ‎，‎ 所以在递减，在递增，‎ 所以，‎ ‎，当且仅当时，取得等号，‎ 所以 要使有零点，必须零点，且，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题考查根据方程有根转化为函数有零点求解参数的取值范围，关键在于准确构造函数，利用函数单调性和基本不等式求解最值.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分）‎ ‎17. 从甲地到乙地要经过 - 22 -‎ 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 - 22 -‎ ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎18. 如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明及，即可证明：平面，问题得证．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，由（1）得为平面的法向量，求得平面的法向量为，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，‎ 所以，‎ 又平面平面，且平面平面，‎ - 22 -‎ 所以平面.‎ 又平面，所以，‎ 因为为中点，且为等边三角形，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，‎ 因为平面平面，所以平面，‎ 所以，由，，‎ 可知，所以.‎ 以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 所以，，，，，‎ 所以，，‎ 由（1）知，为平面的法向量，‎ 因为为的中点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ - 22 -‎ 取，则.‎ 所以 .‎ 因为二面角为钝角，‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎19. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：‎ 土地使用面积（单位：亩）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 管理时间（单位：月）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ 女性村民 ‎50‎ ‎（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？‎ ‎（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？‎ ‎（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望．‎ 参考公式：‎ - 22 -‎ 其中．临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关．‎ ‎（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】解：依题意：‎ 故 则，‎ - 22 -‎ 故管理时间与土地使用面积线性相关．‎ ‎（2）依题意，完善表格如下：‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 女性村民 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．‎ ‎（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，‎ 故 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则数学期望为 ‎（或由，得 ‎【点睛】‎ - 22 -‎ 本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．‎ ‎20. 已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，求得直线的方程，再由点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长．‎ ‎【详解】（1）由题可知，，，则，‎ 直线的方程为，即，所以，‎ 解得，，‎ 又，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线与圆相切，‎ 所以，即.‎ 设，，‎ - 22 -‎ 联立，得，‎ 所以 ，‎ ‎，，‎ 所以 .‎ 又，所以.‎ 因为 ，‎ 同理.‎ 所以，‎ 所以的周长是，‎ 则的周长为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎21. 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 - 22 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.‎ ‎【详解】（I）． ‎ ‎∴在内单调递减， ‎ ‎∴在内恒成立， ‎ 即在内恒成立．‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，即在内为增函数；‎ 当时，，即在内为减函数． ‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，‎ 由（I），知． ‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设， ‎ - 22 -‎ ‎∴要证明，只需证明． ‎ 即证明，亦即证明． ‎ 令函数．‎ ‎∴，即函数在内单调递减．‎ ‎∴时，有，∴．‎ 即不等式成立． ‎ 综上，得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.‎ 选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答 ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）：，：； （2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，‎ 消去参数，可得普通方程为，即，‎ 又由，代入可得曲线的极坐标方程为，‎ 设点的极坐标为，点点的极坐标为，‎ 则，‎ 因为，所以，即，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可得,‎ 则，‎ 即，‎ 当，可得的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎23. 设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由绝对值不等式的解法，当，分三种情况讨论，求解不等式即可得解；‎ ‎（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得，‎ 再转化为恒成立，再分和讨论即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 则等价于或或，‎ 解得或，‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，‎ 当时不等式显然恒成立，‎ 当时，由得，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ - 22 -‎