高考数学一轮复习练案16第二章函数导数及其应用第十二讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值最值含解析 6页

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2021-06-11 发布

高考数学一轮复习练案16第二章函数导数及其应用第十二讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值最值含解析

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‎ [练案16]第二课时　导数与函数的极值、最值 A组基础巩固一、单选题 ‎1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　D　)‎ A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 ‎[解析]　f(x)＝＋ln x(x>0)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，f′(x)>0，这时f(x)为增函数；当00，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.‎ ‎3．(2020·贵阳模拟)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　A　)‎ A．　 B．1　‎ C．0　 D．不存在 ‎[解析]　f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得01时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.‎ 二、多选题 ‎7．下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数有(　BC　)‎ A．y＝x3　 B．y＝x2＋1　‎ C．y＝|x|　 D．y＝2x ‎[解析]　对于A、D，y＝x3和y＝2x在x＝0处无极值．B、C符合．故选B、C.‎ ‎8．已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．若f(x)在(0，＋∞)上既存在极大值也存在极小值，则实数a的取值可以是(　BD　)‎ A．－1　 B．0　‎ - 6 -‎ C．　 D．1‎ ‎[解析]　f′(x)＝a＋－＝(x>0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0在(0，＋∞)上有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，则有解得02时f′(x)>0，当0－1时y′>0，∴函数在x＝－1时取得极小值－，又y′|x＝－1＝0，∴所求切线方程为y＝－.‎ ‎12．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是__－1__.‎ ‎[解析]　由f(x)＝(x2＋x＋m)ex，得f′(x)＝(x2＋3x＋m＋1)·ex.若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则f′(－3)＝0，解得m＝－1，故f(x)＝(x2＋x－1)ex，f′(x)＝(x2＋3x)ex.令f′(x)>0，解得x>0或x<－3；令f′(x)<0，解得－30，f′(－1)＝e－1－3<0，∴在区间(－1,1)上存在x0使f′(x0)＝0，∴函数f(x)在区间[－1，x0]上单调递减，在区间[x0,1]上单调递增，∴f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，又f(－1)＝e－1＋2，f(1)＝e，∴f(x)max＝e.故f(x)在[－1,1]上的最大值为e.‎ ‎14．(2020·重庆高三调研)已知函数f(x)＝a(x－)－2ln x，a>0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＝0.‎ ‎[解析]　f′(x)＝a(1＋)－＝，其中方程ax2－2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－‎4a2，故当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当00，∴－3是f(x)的极小值点．A正确；又x∈(－3,1)时f′(x)>0，∴f(x)在区间(－3,1)上单调递增，D正确，故选A、D.‎ - 6 -‎ ‎2．(2020·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝x2＋xlnx－3x的极值点一定在区间(　B　)‎ A．(0,1)　 B．(1,2)　‎ C．(2,3)　 D．(3,4)‎ ‎[解析]　函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋lnx＋1－3＝x＋lnx－2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)上，故选B.‎ ‎3．(2020·贵州黔东南州联考)已知函数f(x)＝lnx－，若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，则a的值为(　A　)‎ A．－　 B．－　‎ C．－　 D．e ‎[解析]　f′(x)＝＋＝若a≥0，则f′(x)>0，f(x)在[1，e]上递增，‎ fmin(x)＝f(1)＝－a＝，则a＝－，矛盾．‎ 若a<0，则由f′(x)＝0得x＝－a.‎ 若1<－a0，得01，‎ ‎∴f(x)＝1－－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)由(1)得f(x)在[，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，‎ ‎∴f(x)在[，e]上的最大值为f(1)＝1－1－ln1＝0.‎ 又f()＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－lne＝－，且f()0解得x0，‎ f′(x)<0解得0e2－2>0，‎ 由(2)知f(x)在x＝a处取得极大值，f(a)<0，‎ 因此，f(x)只有一个零点．‎ - 6 -‎

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