高二数学人教a必修5练习：3-1不等关系与不等式word版含解析 5页

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2021-06-11 发布

高二数学人教a必修5练习：3-1不等关系与不等式word版含解析

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第三章不等式 §3.1 不等关系与不等式课时目标 1．初步学会作差法比较两实数的大小． 2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．比较实数 a，b 的大小 (1)文字叙述如果 a－b 是正数，那么 a>b；如果 a－b 等于 0，那么 a＝b；如果 a－b 是负数，那么 a0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n a>n b. 一、选择题 1．若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A.1 a<1 b B．a2>b2 C. a c2＋1> b c2＋1 D．a|c|>b|c| 答案 C 解析对 A，若 a>0>b，则1 a>0，1 b<0，此时1 a>1 b ，∴A 不成立；对 B，若 a＝1，b＝－2，则 a2b，∴ a c2＋1> b c2＋1 恒成立， ∴C 正确；对 D，当 c＝0 时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立． 2．已知 a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A．a>a b> a b2 B. a b2>a b>a C.a b>a> a b2 D.a b> a b2>a 答案 D 解析取 a＝－2，b＝－2，则a b ＝1， a b2 ＝－1 2 ， ∴a b> a b2>a. 3．已知 a、b 为非零实数，且 a0 时，a2b>0，ab2<0，a2b0，∴ 1 ab2< 1 a2b ；对于 D，当 a＝－1，b＝1 时，b a ＝a b ＝－1. 4．若 x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( ) A．a0，∴a>b. c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－10，∴c>a.∴c>a>b. 5．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0 答案 D 解析由 a>|b|得－a0，且 a－b>0.∴b－a<0，A 错，D 对．可取特值，如 a＝2，b＝－1， a3＋b3＝7>0，故 B 错．而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C 错． 6．若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( ) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 答案 A 解析由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0 知 a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选 A. 二、填空题 7．若 1≤a≤5，－1≤b≤2，则 a－b 的取值范围为________．答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又 1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 8．若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是________．答案 f(x)>g(x) 解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， ∴f(x)>g(x)． 9．若 x∈R，则 x 1＋x2 与1 2 的大小关系为________．答案 x 1＋x2 ≤1 2 解析 ∵ x 1＋x2 －1 2 ＝2x－1－x2 21＋x2 ＝－x－12 21＋x2 ≤0， ∴ x 1＋x2 ≤1 2. 10．设 n>1，n∈N，A＝ n－ n－1，B＝ n＋1－ n，则 A 与 B 的大小关系为________．答案 A>B 解析 A＝ 1 n＋ n－1 ，B＝ 1 n＋1＋ n . ∵ n＋ n－1< n＋1＋ n，并且都为正数，∴A>B. 三、解答题 11．设 a>b>0，试比较a2－b2 a2＋b2 与a－b a＋b 的大小．解方法一作差法 a2－b2 a2＋b2 －a－b a＋b ＝a＋ba2－b2－a－ba2＋b2 a2＋b2a＋b ＝a－b[a＋b2－a2＋b2] a2＋b2a＋b ＝ 2aba－b a＋ba2＋b2 ∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0. ∴ 2aba－b a＋ba2＋b2>0，∴a2－b2 a2＋b2>a－b a＋b . 方法二作商法 ∵a>b>0，∴a2－b2 a2＋b2>0，a－b a＋b >0. ∴ a2－b2 a2＋b2 a－b a＋b ＝a＋b2 a2＋b2 ＝a2＋b2＋2ab a2＋b2 ＝1＋ 2ab a2＋b2>1. ∴a2－b2 a2＋b2>a－b a＋b . 12．设 f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中 x＞0 且 x≠1，试比较 f(x)与 g(x)的大小．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx 3x 4 ， ①当 0＜x＜1， 3x 4 ＞1，或 x＞1， 0＜3x 4 ＜1，即 1＜x＜4 3 时，logx 3x 4 ＜0，∴f(x)＜g(x)； ②当3x 4 ＝1，即 x＝4 3 时，logx 3x 4 ＝0，即 f(x)＝g(x)； ③当 0＜x＜1， 0＜3x 4 ＜1，或 x＞1， 3x 4 ＞1，即 0＜x＜1，或 x＞4 3 时，logx 3x 4 ＞0，即 f(x)＞g(x)．综上所述，当 1＜x＜4 3 时，f(x)＜g(x)；当 x＝4 3 时，f(x)＝g(x)；当 0＜x＜1，或 x＞4 3 时，f(x)＞g(x)．能力提升 13．若 01 2>3 8 ，∴最大的数应是 a1b1＋a2b2. 方法二作差法． ∵a1＋a2＝1＝b1＋b2 且 0a1，b2＝1－b1>b1， ∴00， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. ∵(a1b1＋a2b2)－1 2 ＝2a1b1＋1 2 －a1－b1 ＝b1(2a1－1)－1 2(2a1－1)＝(2a1－1) b1－1 2 ＝2 a1－1 2 b1－1 2 >0， ∴a1b1＋a2b2>1 2. 综上可知，最大的数应为 a1b1＋a2b2. 14．设 x，y，z∈R，试比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝1 2 且 z＝1 时取到等号． 1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

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