2020年高中数学 第二章 解三角形 正弦定理与余弦定理 5页

‎2.1.3‎‎ 正弦定理和余弦定理习题课 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选A.因为a＝15，b＝10，A＝60°，所以在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝＝＝，又由a>b可得A>B，即得B为锐角，则cos B＝＝.‎ ‎2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选A.因为cos2＝及2cos2－1＝cos A，所以cos A＝，即＝，所以a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．故选A.‎ ‎3．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·＝(　　)‎ A．±2 B．±4‎ C．2 D．4‎ 解析：选A.因为||＝4，||＝1，△ABC的面积为，所以S△ABC＝·||·||·sin A＝×4×1×sin A＝.‎ 所以sin A＝，所以cos A＝±＝±.‎ 所以·＝||·||·cos A ‎＝4×1×＝±2，故选A.‎ ‎4．在△ABC中，A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 5‎ 解析：选C.已知A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边为a，b＋c＝7，bc＝11，所以a＝ ‎＝ ‎＝＝＝4.‎ ‎5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin A·sin C－sin A·cos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0，因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0b，所以A>B，所以B＝，C＝.所以S△ABC＝.‎ 答案： ‎13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．‎ 解：(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，‎ 代入＋＝中，有 5‎ ＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，‎ 得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝，‎ 所以sin A＝＝.‎ 由第一问，‎ 知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，故tan B＝＝4.‎ ‎14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．‎ 解：(1)由正弦定理，得＝，‎ 整理得sin A＝cos A，即tan A＝.‎ 又0