高一数学教案：第18讲 数列综合 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 数列综合 教学内容 ‎1. 类比等差等比数列的性质，加深理解记忆；‎ ‎2. 应用等差等比数列的性质解决综合题目.‎ ‎（让学生相互讨论）‎ 通过观察表格回答下面问题 数列 等差数列 等比数列 定义 通项公式 中项公式 若，‎ 若，‎ 简单性质 若，‎ 若，‎ ‎1. 在等差数列中，若项数数列是等差数列，则仍是等差数列。‎ 类比：若是等比数列，当是________数列时，是________数列。 ‎ 答案： 等差，等比 通过讨论得到结论后，启发引导学生如何类比并得到正确结论？经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。‎ ‎2. 有一位同学发现：若为等差数列，则也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若为等比数列，则、也为等比数列。你认为呢？‎ 积一定是等比数列，和不一定，有一种特殊情况，如1，-1，1，-1…，此时要强调等比数列中的项不能有零 ‎3. 一位同学发现：若是等差数列的前n项和，则也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？‎ 对于一般数列是成立的，特殊数列还会出现前k项和是0‎ ‎4. 我们知道对于等差数列，成立。通过类比，尝试发现等比数列中的相似结论并给予证明.‎ 类比结论： ，把都化成即可证明 问题三的设计和问题四是结合在一起的，设计问题三的时候考虑到学生有可能只能通过证明找到反例从而得出不成等比数列的结论，而对类比的结论有困难，甚至会有同学得出成等比数列的结论。对于问题四，可以将问题三沟通起来探索。经过讨论、形式上类比、对结论进行论证。我们可以在学生最终明确结论后再回到问题三，让同学们进一步思考并指出“成等比数列”的说法虽然不对，但在“类比——发现”的探究过程中也有不少新的收获。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q ‎ 解: 设等差数列的通项 根据题意得 即，‎ 解得 ‎ 所以 试一试：设各项均为正数的数列和满足：成等差数列，成等比数列，且，求通项.‎ ‎ 解: 依题意得: ‎ ‎ ‎ ‎∵ 为正数, 由②得 , ‎ 代入①并同除以得: ,‎ ‎∴ 为等差数列 ‎∵ b1 = 2 , a2 = 3 , ,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴当n≥2时,,‎ 又a1 = 1,当n = 1时成立, ∴‎ 例2. 已知数列 为等差数列，公差d≠0，的部分项组成下列数列 恰为等比数列，其中 求。‎ ‎ 解：∵成等比数列，∴即，设等差数列的首项为a1，公差d，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，∵d≠0，∴a1=2d, 设等比数列的公比为q，则 是等比数列中的第n项，‎ ‎，又是等差数列{an}的第kn项 ‎∴ ‎ ‎∴，∵ ∴ ‎ ‎∴.‎ 试一试：在等差数列中，公差，是与的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项 解：因为是与的等比中项，‎ 所以．‎ 因为 所以，故，从而．‎ 由于是等比数列，又，所以数列是等比数列．‎ 设等比数列的公比为，则，从而．‎ 等比数列，‎ ‎，‎ 即数列的通项为．‎ 例3. 设为数列的前项和，，，其中是常数．‎ ‎ （I） 求及；‎ ‎ （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．‎ 解（Ⅰ）当，‎ ‎（）‎ ‎ 经验，（）式成立， ‎ ‎（Ⅱ）成等比数列，，‎ 即，整理得：，‎ 对任意的成立， ‎ 试一试：已知数列是首项为2的等比数列，且满足 ‎(1)求常数的值和数列的通项公式；‎ ‎(2)若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第 项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；‎ ‎（1）解：由得，，‎ 又因为存在常数，使得数列为等比数列，‎ 则即，所以.‎ 故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.‎ 此时也满足，则所求常数的值为1且.‎ ‎（2）解：由等比数列的性质得：‎ ‎（i）当时，；‎ ‎（ii） 当时，，‎ 所以.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 设等比数列{an}前n项和，等差数列{bn}的前n项和，则a＋b＝ ．-1‎ ‎2. 在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.‎ 答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）‎ ‎3. 已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0