高中数学人教a版必修五章末综合测评2word版含答案 9页

章末综合测评(二) (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，1 2 ，1 3 ，1 4 ，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2 ，－1 4 ，－1 8 ，… D．1, 2， 3，…， n 【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列． 【答案】 C 2．已知数列{an}是首项 a1＝4，公比 q≠1 的等比数列，且 4a1，a5，－2a3 成 等差数列，则公比 q 等于( ) A.1 2 B．－1 C．－2 D．2 【解析】 由已知，2a5＝4a1－2a3，即 2a1q4＝4a1－2a1q2，所以 q4＋q2－2＝0， 解得 q2＝1，因为 q≠1，所以 q＝－1. 【答案】 B 3．某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，…，按此规律进行下去，6 小 时后细胞存活的个数是( ) A．33 个 B．65 个 C．66 个 D．129 个 【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}． 则 a1＝2， an＋1＝2an－1， 即an＋1－1 an－1 ＝2. ∴an－1＝1·2n－1 ，an＝2n－1＋1，a7＝65. 【答案】 B 4．等比数列{an}的通项为 an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构 成一个新的数列 {bn}，那么 162 是新数列{bn}的( ) A．第 5 项 B．第 12 项 C．第 13 项 D．第 6 项 【解析】 162 是数列{an}的第 5 项，则它是新数列{bn}的第 5＋(5－1)×2＝ 13 项． 【答案】 C 5．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a≠0)，则{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵Sn＝an－1(a≠0)， ∴an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2， 即 an＝ a－1，n＝1， a－1an－1，n≥2， 当 a＝1 时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当 a≠1 时，数 列{an}是一个等比数列． 【答案】 C 6．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数 列的前 10 项之和是( ) A．90 B．100 C．145 D．190 【解析】 设公差为 d， ∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)， ∵d≠0， ∴d＝2，从而 S10＝100. 【答案】 B 7．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d＝ ( ) A．2 B．3 C．6 D．7 【解析】 S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16， ∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2) ＝4d＝16－4＝12， ∴d＝3. 【答案】 B 8．已知数列{an}满足 a1＝5，anan＋1＝2n，则a7 a3 ＝( ) A．2 B．4 C．5 D.5 2 【解析】 依题意得an＋1an＋2 anan＋1 ＝2n＋1 2n ＝2，即an＋2 an ＝2，数列 a1，a3，a5，a7，… 是一个以 5 为首项，2 为公比的等比数列，因此a7 a3 ＝4. 【答案】 B 9．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则 a101 的值为( ) A．49 B．50 C．51 D．52 【解析】 ∵2an＋1－2an＝1， ∴an＋1－an＝1 2 ， ∴数列{an}是首项 a1＝2，公差 d＝1 2 的等差数列， ∴a101＝2＋1 2(101－1)＝52. 【答案】 D 10．我们把 1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成 一个正三角形，如图 1 所示： 图 1 则第七个三角形数是( ) A．27 B．28 C．29 D．30 【解析】 法一 ∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－ a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5， ∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28. 法二 由图可知第 n 个三角形数为nn＋1 2 ， ∴a7＝7×8 2 ＝28. 【答案】 B 11．数列{an}满足递推公式 an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又 a1＝5，则使得 an＋λ 3n 为等差数列的实数λ＝( ) A．2 B．5 C．－1 2 D.1 2 【解析】 a1＝5，a2＝23，a3＝95，令 bn＝an＋λ 3n ，则 b1＝5＋λ 3 ，b2＝23＋λ 9 ， b3＝95＋λ 27 ， ∵b1＋b3＝2b2， ∴λ＝－1 2. 【答案】 C 12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且 a11>|a10|，则{an}的前 n 项和 Sn 中最 大的负数为( ) A．S17 B．S18 C．S19 D．S20 【解析】 ∵a10<0，a11>0，且 a11>|a10|， ∴a11＋a10>0. S20＝20a1＋a20 2 ＝10·(a11＋a10)>0. S19＝19a1＋a19 2 ＝19 2 ·2a10<0. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线 上) 13．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an ＋bn}的前 100 项的和为________． 【解析】 由已知得{an ＋bn}为等差数列，故其前 100 项的和为 S100 ＝ 100[a1＋b1＋a100＋b100] 2 ＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 000 14．数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则 a5＝________. 【导学号： 05920082】 【解析】 由 an＝an－1＋n(n≥2)，得 an－an－1＝n，则 a2－a1＝2，a3－a2＝3， a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得 a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14， ∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15. 【答案】 15 15．首项为－24 的等差数列从第 10 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是 ________． 【解析】 设 a1＝－24，公差为 d，∴a10＝－24＋9d>0 且 a9＝－24＋8d≤0， ∴8 31 000. 因为 29＝512<1 000<1 024＝210，所以 n≥10. 于是使|Tn－1|< 1 1 000 成立的 n 的最小值为 10. 22．(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，a2 是 a1 与 a4 的等 比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝a nn＋1 2 ，记 Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求 Tn. 【解】 (1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得 a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n. (2)由题意知 bn＝a nn＋1 2 ＝n(n＋1)， 所以 Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1)． 因为 bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当 n 为偶数时， Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn) ＝4＋8＋12＋…＋2n＝ n 2 4＋2n 2 ＝nn＋2 2 ， 当 n 为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝n－1n＋1 2 －n(n＋1)＝－n＋12 2 . 所以 Tn＝ －n＋12 2 ，n 为奇数， nn＋2 2 ，n 为偶数.