2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第9章 9 10页

www.ks5u.com ‎9.1.2　‎余弦定理 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法．(重点)‎ ‎2．会运用余弦定理解决简单的三角形度量和边角转化问题．(重点、难点)‎ ‎1.借助余弦定理的推导，提升逻辑推理的素养．‎ ‎2．通过余弦定理的应用的学习，培养数学运算的素养.‎ ‎　‎ 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝‎1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.‎ 思考：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？‎ ‎1．余弦定理 ‎(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．‎ 即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C．‎ ‎(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．‎ ‎①已知三边，求三角．‎ ‎②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．‎ ‎2．余弦定理的推论 cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝.‎ ‎[拓展]‎ ‎(1)若b2＋c2＞a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＞0，则角A为锐角．同理可得，若a2＋c2＞b2，a2＋b2＞c2，则角B，角C为锐角．所以当b2＋c2＞a2，a2＋c2＞b2，且a2＋b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．‎ ‎(2)若b2＋c2＜a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＜0，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角．同理可得，若a2＋c2＜b2，则△ABC是钝角三角形且角B是钝角；若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形且角C是钝角．‎ ‎(3)若b2＋c2＝a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＝0，则△ABC是直角三角形且角A为直角．同理可得，若a2＋c2＝b2，则△ABC是直角三角形且角B是直角；若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形且角C是直角．‎ 从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解． (　　)‎ ‎(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (　　)‎ ‎(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题． (　　)‎ ‎(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解．‎ ‎(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．‎ ‎(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．‎ ‎(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ A　[根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)，‎ 则cos C＝＝.]‎ ‎3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则c2＝ .‎ ‎30－4　[由余弦定理可得c2＝(3)2＋(2)2－2×3×2×＝18＋12－4＝30－4.]‎ ‎4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝ .‎ ‎120°　[∵a2＝b2＋bc＋c2，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝－bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝－，‎ 又∵0°＜A＜180°，‎ ‎∴A＝120°.]‎ 已知两边及一角解三角形 ‎【例1】　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝ .‎ ‎(2)已知△ABC，根据下列条件解三角形：‎ a＝，b＝，B＝45°.‎ ‎(1)　[由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.]‎ ‎(2)[解]　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B．‎ ‎∴2＝3＋c2－2×c.‎ 即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.‎ 当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝.‎ ‎∵0°a，c>b，∴C最大．‎ 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 即37＝9＋16－24cos C，‎ ‎∴cos C＝－，‎ ‎∵0°a，c>a，‎ ‎∴a最小，‎ 即A为锐角．‎ 因此A＝45°.‎ 故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.‎