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- 2021-06-11 发布
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2021年1月20日
高中数学必修
四
课件全册(人教A版)
任意角的概念
角的度量方法
(角度制与弧度制)
弧长公式与
扇形面积公式
任意角的
三角函数
同角公式
诱导公式
两角和与差的三角函数
二倍角的三角函数
三角函数式的恒等变形
(化简、求值、证明)
三角函数的
图形和性质
正弦型函数的图象
已知三角函数值,求角
知识网络结构
1.
角的概念的推广
(
1
)
正角,负角和零角
.
用旋转的观点定义角,并规定了旋转的正方向,就出现了正角,负角和零角,这样角的大小就不再限于
0
0
到
360
0
的范围
.
(
3
)
终边相同的角
,具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角,所有与角终边相同的角(包含角在内)的集合为
.
(
4
)角在“到”范围内,指
.
(
2
)
象限角和轴线角
.
象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,这样当角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角,若角的终边与坐标轴重合,这个角不属于任一象限,这时也称该角为轴线角
.
一、基本概念:
一、任意角的三角函数
1
、
角的概念的推广
正角
负角
o
x
y
的终边
的终边
零角
二、象限角:
注
:如果角的终边在坐标轴上,则该角不是象限角。
三、所有与角 终边相同的角,连同角 在内,构成集合:
(角度制)
(弧度制)
例
1
、求在 到 ( )范围内,与下列各角终边相同的角
原点
x
轴的非负半轴
一、在直角坐标系内讨论角,角的顶点与 重合,角的始边
与 重合。逆时针旋转为正,顺时针旋转为负。
角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。
1
、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。
2
、象限角、象间角与区间角的区别
3
、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式
三、终边相同的角
(1)
与
角
终边相同的角的集合
:
1.
几类特殊角的表示方法
{
|
=2
k
+
,
k
∈
Z
}.
(2)
象限角、象限界角
(
轴线角
)
①
象限角
第一象限角
:
(2
k
<
<2
k
+
,
k
Z)
2
第二象限角
:
(2
k
+
<
<2
k
+
,
k
Z)
2
第三象限角
:
(2
k
+
<
<2
k
+
,
k
Z)
2
3
第四象限角
:
2
(2
k
+ <
<2
k
+2
,
k
Z
或
2
k
-
<
<2
k
,
k
Z
)
2
3
一、角的基本概念
②
轴线角
x
轴的非负半轴
:
=
k
360º(2
k
)(
k
Z);
x
轴的非正半轴
:
=
k
360º+180º(2
k
+
)(
k
Z);
y
轴的非负半轴
:
=
k
360º+90º(2
k
+
)(
k
Z);
2
y
轴的非正半轴
:
=
k
360º+270º(2
k
+
)
或
=
k
360º
-
90º(2
k
-
)(
k
Z);
2
3
2
x
轴
:
=
k
180º(
k
)(
k
Z);
y
轴
:
=
k
180º+90º(
k
+
)(
k
Z);
2
坐标轴
:
=
k
90º( )(
k
Z).
2
k
例
2
、(
1
)、终边落在
x
轴上的角度集合:
(
2
)、终边落在
y
轴上的角度集合:
(
3
)、终边落在象限平分线上的角度集合:
典型例题
各个象限的半角范围可以用下图记忆,图中的
Ⅰ
、
Ⅱ
、
Ⅲ
、
Ⅳ
分别指第一、二、三、四象限角的半角范围;
例
1.
若
α
是第三象限的角,问
α/2
是哪个象限的角
?2α
是哪个象限的角
?
高考试题精选及分析
C
点评
:
本题先由
α
所在象限确定
α/2
所在象限
,
再
α/2
的余弦符号确定结论
.
例
1
求经过
1
小时
20
分钟时钟的分针所转过的角度:
解:分针所转过的角度
例
2
已知
a
是第二象限角,判断下列各角是第几象限角
(
1
) (
2
)
评析:
在解选择题或填空题时,
如求角所在象限,也可以不讨论
k
的
几种情况,如图所示利用图形来判断
.
四、什么是
1
弧度的角?
长度等于半径长的弧所对的圆心角。
O
A
B
r
r
2r
O
A
B
r
(
3
)
角度与弧度的换算
.
只要记住,就可以方便地进行换算
.
应熟记一些特殊角的度数和弧度数
.
在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制
(
4
)
弧长公式和扇形面积公式
.
度
弧度
0
2
、
角度与弧度的互化
特殊角的角度数与弧度数的对应表
略
解:
例
3
.已知角
和
满足求角
–
的范围
.
解:
例
4
、
已知扇形的周长为定值
100
,问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大?最大值是多少?
扇形面积最大值为
625.
例
7.
已知一扇形中心角是
α
,所在圆的半径是
R. ①
若
α
=
60°
,
R
=
10cm
,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
.
②
若扇形的周长是一定值
C
(
C
>
0)
,当
α
为多少弧度时,该扇形的面积有最大值
?
并求出这一最大值
?
指导
:
扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式,但其中用弧度制给出的形式不仅易记,而且好用
.
在使用时,先要将问题中涉及到的角度换算为弧度
.
解:(
1
)设弧长为
l
,弓形面积为
S
弓
。
(
2
)
扇形周长
C=2
R
+
l
=2
R
+
正弦线:
余弦线:
正切线:
(
2
)当角
α
的终边在
x
轴上时,正弦线,正切线变成一个点;当角
α
的终边在
y
轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在。
2.
正弦线、余弦线、正切线
x
y
O
P
T
M
A
有向线段
MP
有向线段
OM
有向线段
AT
注意:
(
1
)圆心在原点,半径为单位长的圆叫单位圆
.
在平面直角坐标系中引进
正弦线、余弦线和正切线
三角函数
三角函数线
正弦函数
余弦函数
正切函数
正弦线
MP
正弦、余弦函数的图象
y
x
x
O
-1
P
M
A(1,0)
T
sin
=MP
cos
=OM
tan
=AT
注意:
三角函数线是
有向线段
!
余弦线
OM
正切线
AT
P
O
M
P
O
M
P
O
M
P
O
M
MP
为角
的正弦线
,
OM
为角
的余弦线
为第二象限角时
为第一象限角时
为第三象限角时
为第四象限角时
10
)
函数
y=lg sinx+
的定义域是(
A
)
(
A
)
{x|2k
π0,ω>0)
的图象的对称中心和对称轴方程
2
、函数 的图象(
A>0, >0 )
第一种变换
:
图象向左
( )
或
向右
( )
平移 个单位
横坐标伸长
( )
或缩短
( )
到原来的 倍
纵坐标不变
纵坐标伸长
(A>1 )
或缩短
( 01 )
或缩短
( 00,|φ|< )
的图象向左平移 个单位,再数将图象上所有点的横坐标扩大到原来
2
倍(纵坐标不变)得函数
y=sinx
图象则
ω=____ φ=____
。
解:
y=sin2x
=sin2(x- )=sin(2x- ) ω=2 φ=-
7
、
8
、
思路
:
函数
y=sin2x+acos2x
可化为
要使它的图象关于直线
x= -π/8
对称
,
则图象在该处必是处于波峰或波谷
.
即函数在
x=-π/8
时取得最大、小值
.
例
9
、
(98
年
)
关于函数 有下列命题:
①
的表达式可改写为
②
是以 为最小正周期的周期函数
③
的图象关于点 对称
④
的图象关于直线 对称
其中正确的命题序号是。
① ③
(
3
)连线:
用“五点作图法”作出
y=A sin (
x +
)
在长度为一个周期闭区间上的图象
(2)
描点:
(
1
)列表:
0
- A
0
A
0
y
0
x +
x
y
( ,0) ( ,A) ( ,0) ( ,- A) ( ,0)
(1)
由最大值点(或最小值点)定
A
(2)
由两个关键点(特殊点)定
和
总 结
给出函数
y=Asin(
x+)
(A>0 ,
>0)
的图象求其解析式的一般方法:
6
、已知下图是函数 的图象
(1)
求 的值;
(2)
求函数图象的对称轴方程
.
O
x
2
1
–1
–2
y
⑴
(
2
)函数图象的对称轴方程为
即
设函数
(
1
)求 ;
(
2
)求函数 的单调递增区间;
(
3
)画出函数 在区间
[0
,
π]
上的图象
.
图象的一条对称轴是直线
解析
:
(
1
)
图象的一条对称轴
,
是
O
y
x
(
2
)
函数 的单调递增区间为
x
y
π
o
-1
1
x∈[0,π]
(
3
)
5 )
函数
(A>0,
>0)
的一个周期内的图象如图,则有
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
y
x
0
3
- 3
y
x
0
2
-2
- 4
如图:根据函数
y= A sin (
x + )
(A>0 ,
>0)
图象求它的解析式
y
x
0
-4
4
如图:根据函数
y = A sin (
x + )
(A>0 ,
>0)
图象
求它的解析式
y
x
0
2
-2
如图:根据函数
y = A sin (
x + )
(A>0 ,
>0)
图象求它的解析式
y
x
0
1
2
如图:根据函数
y = 2 sin(
x + )
(
>0)
图象
求它的解析式
y
x
0
1
2
如图:根据函数
y = 2 sin(
x + )
(
>0)
图象
求它的解析式
y
x
根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足:
使符合条件的 的角
x
有且只有一个,而且包括锐角.
4.11
已知三角函数值求角
在闭区间 上,符合条件 的角
x
,叫做
实数
a
的反正弦,记作 ,即 ,其中 ,
且 .
的意义:
首先 表示一个角,角的正弦值为
a
,即
.角的范围是
4.11
已知三角函数值求角
练习:
(
1
) 表示什么意思?
表示 上正弦值等于 的那个角,即角 ,
故
(
2
)若
,则
x
=
(
3
)若
,则
x=
4.11
已知三角函数值求角
的意义:
首先 表示一个角,角的余弦值为
a
,即
.角的范围是 .
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足:
使符合条件的 的角
x
有且只有一个,而且包括锐角.
y
x
在闭区间 上,符合条件 的角
x
,叫做
实数
a
的反余弦,记作 ,即 ,其中 ,
且 .
4
、已知三角函数值求角
y=sinx ,
的反函数
y=arcsinx ,
y=cosx,
的反函数
y=arccosx,
y=tanx,
的反函数
y=arctanx,
⑵
已知角
x ( )
的三角函数值求
x
的步骤
①
先确定
x
是第几象限角
②
若
x
的三角函数值为正的,求出对应的锐角 ;若
x
的三角函数
值为负的,求出与其绝对值对应的锐角
③
根据
x
是第几象限角,求出
x
若
x
为第二象限角,即得
x=
;若
x
为第三象限角,即得
x=
;若
x
为第四象限角,即得
x=
④
若 ,则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
⑴
反三角函数
已知三角函数值求角
已知三角函数值求角
x
(仅限于
[0
,
2 π]
)的解题步骤:
1
、如果函数值为正数,则求出对应的锐角
x
0
;如果函数值为负数,则求出与其绝对值相对应的锐角
x
0
;
2
、由函数值的符号决定角
x
可能的象限角;
3
、根据角
x
的可能的象限角得出
[0
,
2 π]
内对应的角:
如果
x
是第二象限角,那么可以表示为
π
-
x
0
如果
x
是第三象限角,那么可以表示为
π
+
x
0
如果
x
是第四象限角,那么可以表示为
2π
-
x
0
说明
:
三角函数值求角,关键在于角所属范围,这点不容忽视
.
(1)
判断角的象限
;
(2)
求对应锐角;
如果函数值为正数,则先求出对应的锐角
x
1
;
如果函数值为负数,则先求出与其绝对值对应的锐角
x
1
.
(3)
求出
(0
,
2
π
)
内对应的角
;
如果它是第二象限角,那么可表示为-
x
1
+
π
;
如果它是第三或第四象限角,则可表示为
x
1
+
π
或-
x
1
+
2
π
.
(4)
求出一般解
利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律
写出结果
.
(三)已知三角函数值求角”的基本步骤
1
、基本步骤
2
、表示角的一种方法
——
反三角函数法
1
、反正弦:
这时
sin(arcsin
a)=a
2
、反余弦:
这时
cos(arccos
a)=a
这时
tan(arctan
a)=a
3
、反正切:
三、两角和与差的三角函数
1
、预备知识:两点间距离公式
x
y
o
●
●
2
、两角和与差的三角函数
注:公式的逆用 及变形的应用
公式变形
3
、倍角公式
一、知识点
(一)
两角和与差公式
(二)倍角
公式
★
公式
=1-cos
2
α
2cos2α=1+cos
2
α
1+cos2α=2cos
2
α
1-cos2α=2sin
2
α
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)
注意
1
、公式的变形如:
注意
2
、公式成立的条件(使等式两边都有意义)
.
C
α±β
:
S
α
±
β
:
C
2
α
:
S
2α
:
T
2
α
:
T
α
±
β
:
倍角公式:
注:正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别
和角公式的一个重要变形
其 它 公 式
1
、半角公式
2
、万能公式
二、两角和与差的正弦、余弦、正切:
注意:
、 的
变形式
以及运用和差公式时要会
拼角
如:
要熟悉公式逆用!
三、一个化同角同函数名的常用方法:
如:
例、求 的值
四、二倍角公式:
降幂(扩角)公式
升幂(缩角)公式
和差化积公式:
积化和差公式:
例
4
.化简:
解法
1
:从“角”入手,“复角”化为“单角”,利用“升幂公式”。
例
4
.化简:
解法
2
:从“幂”入手,利用“降幂公式”。
例
4
.化简:
解法
3
:从“名”入手,“异名化同名”。
例
4
.化简:
解法
4
:从“形”入手,利用“配方法”。
三角解题常规
宏观思路
分析差异
寻找联系
促进转化
指角的、函数的、运算的差异
利用有关公式,建立差异间关系
活用公式,差异转化,矛盾统一
微观直觉
1
、以变角为主线,注意配凑和转化;
2
、见切割,想化弦;个别情况弦化切;
3
、见和差,想化积;见乘积,化和差;
4
、见分式,想通分,使分母最简;
5
、见平方想降幂,见“
1±cosα”
想升幂;
6
、见
sin2α
,想拆成
2sinαcosα
;
7
、见
sinα±cosα
或
9
、见
cosα·cosβ·cosθ····
,先运用
sinα+sinβ=p
cosα+cosβ=q
8
、见
a sinα+b cosα
,想化为 的形式
若不行,则化和差
10
、见
cosα+cos(α+β)+cos(α+2 β )…
, 想乘
想两边平方或和差化积
总结:
多种名称想切化弦;遇高次就降次消元;
asinA+bcosA
提系数转换;
多角凑和差倍半可算;
难的问题隐含要显现;
任意变元可试特值算;
求值问题缩角是关键;
字母问题讨论想优先;
非特殊角问题想特角算;
周期问题化三个一再算;
适时联想联想是关键!
【
解题回顾
】
找出非特殊角和特殊角之间的关系
,
这种技巧在化简求值中经常用到,并且三角式变形有规律即坚持“
四化
”:
多角同角化
异名同名化
切割弦化
特值特角互化
公式体系的推导:
首先利用两点间的距离公式推导
,
然后利用换元及等价转化等思想方法,以 为中心推导公式体系。
sin
²α
+cos
²α
=1
二【述评】
1
、变为主线,抓好训练。变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换(恒等)、三角函数名的变换(诱导公式)、三角函数次数的变换(升、降幂公式)、三角函数表达式的变换(综合)等比比皆是。在训练中,强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中的习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律。
2
、基本解题规律:观察差异(角或函数或运算)
寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)
分析综合(由因导果或执果索因)
实现转化。
1
、值域与最值问题
①
利用有界性
②
化二次函数型
③
运用合一变换
④
换元
十七、
求值域问题
:
主要是将式子化成
同角度同函数名
的形式,再利用正弦
函数与余弦函数的
有界性
求解。
例
10
、求函数 的值域
有时还要运用到 的关系
2
、对称性问题
3
、奇偶性与周期性问题
注意绝对值的影响
化为单一三角函数
4
、单调性与单调区间
复后函数
单调性
注意负号
的处理
5
、图像变换问题
①
相位变换、周期变换、振幅变换
②
求函数解析式
例
5:
已知函数
求:
⑴
函数的最小正周期;
⑵
函数的单增区间;
解:
⑴
⑵
应用
:化同一个角同一个函数
例
5:
已知函数
求:
⑶
函数的最大值 及相应的
x
的值;
⑷
函数的图象可以由函数 的图象经过怎 样的变换得到。
解:
⑶
⑷
图象向左平移 个单位
图象向上平移
2
个单位
应用
:化同一个角同一个函数
例
6
:已知
解:
应用:
化简求值
例
1
化简:
解
:
∵
∴
原式
=
练习题
例
2
(1)
已知
求证:
(2)
已知
求
(1)
证明:
∴
∴
化简得:
∴
∵
(2)
已知
求
解
:
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解:
应用:化简求值
例
5.
已知
∵
∴
∴
2
、解
:
由
两边平方得
:
①
2
由
两边平方得
:
②
2
由
①
2
+②
2
得
:
即
所以
由
②
2
-
①
2
得
:
练习 已知
求
解
:
∵
∴
∵
∴
∴
∴
例
3.
已知函数
f
(
x
)
=
sin(2
x
-
)
+
2sin
2
(
x
-
)
(
x
∈
R
)
.
(
1
)求函数
f
(
x
)
的最小正周期;
(
2
)求使函数
f
(
x
)
取最大值的
x
的集合.
解:
f
(
x
)
=
sin(2
x
-
)
+
1
-
cos2(
x
-
)
=
sin(2
x
-
)
-
cos(2
x
-
)
+
1
=
2 sin(2
x
-
)
+
1
.
函数
f
(
x
)
的最小正周期
T
=
.
使函数
f
(
x
)
取最大值的
x
的集合为
{
x
|
x
=
k
+
,k
∈
Z
}
.
5
、已知
f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos
2
(x+ )-
。
(
1
)化简
f(x)
的解析式;
(
2
)若
0
≤
θ
≤
π
,求
θ
,使函数
f(x)
为偶函数。
(
3
)在(
2
)成立的条件下,求满足
f(x)=1
,
x
∈
[-
π
,
π
]
的
x
的集合。
解:
(1)f(x)=sin(2x+θ)+ [2cos
2
(x+ )-1]
=sin(2x+θ)+ cos(2x+θ)=2cos(2x+θ- )
(2)
当
θ
=
时
f(x)
为偶函数。
(3) 2cos2x=1 cos2x= x=
±
或
x=
±
例
6
、已知函数
f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a
(a
∈
R,a
常数
)
。
(
1
)求函数
f(x)
的最小正周期;
(
2
)若
x
∈
[- , ]
时,
f(x)
的最大值为
1
,求
a
的值。
解:(
1
)
f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a
= sinx+cosx+a
=2sin(x+ )+a
∴
f(x)
最小正周期
T=2
(
2
)
x [- , ]
∴
x+
∈
[- , ]
∴
f(x)
大
=2+a
∴
a=-1
例
7
、求函数 的值域
.
解:
又
∵-1≤sinx≤1
∴
原函数的值域为:
变题:
已知函数 (
a
为常
数,且
a
<
0
),求该函数的最小值
.
当
-2≤
<
0
时,
当 <
-2
时,
1
、已知
a>0
函数
y=-acos2x- asin2x+2a+b
x
∈
[0, ]
,若函数的值域为
[-5,1]
,求常数
a,b
的值。
解:
3a+b=1
∴
a=2
b=-5 b=-5
2
、
函数
f(x)=1-2a-2acosx-2sin
2
x
的最小值为
g(a)(a
∈
R)
:
(
1
)求
g(a)
;
(
2
)若
g(a)=
,求
a
及此时
f(x)
的最大值
。
解:(
1
)
f(x)=2(cosx- )
2
-
2
-2a-1
-1
≤
cosx
≤
1
①
当
-1
≤
≤
1
即
-2
≤
a
≤
2
时
f(x)
小
=-
2
-a-1
②
当
>1
即
a>2
时
f(x)
小
=f(1)=1-4a
③
当
<-1
即
a<-2
时
f(x)
小
=f(-1)=1
(
2
)
a=-1
此时
f(x)=2(cosx+ )
2
+
f(x)
大
=5
2
、
函数
f(x)=1-2a-2acosx-2sin
2
x
的最小值为
g(a)(a
∈
R)
:
(
1
)求
g(a)
;
(
2
)若
g(a)=
,求
a
及此时
f(x)
的最大值
。
3
、已知
f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos
2
(x+ )-
。
(
1
)化简
f(x)
的解析式;
(
2
)若
0
≤
θ
≤
π
,求
θ
,使函数
f(x)
为偶函数。
(
3
)在(
2
)成立的条件下,求满足
f(x)=1
,
x
∈
[-
π
,
π
]
的
x
的集合。
解:
(1)f(x)=sin(2x+θ)+ [2cos
2
(x+ )-1]
=sin(2x+θ)+ cos(2x+θ)=2cos(2x+θ- )
(2)
当
θ
=
时
f(x)
为偶函数。
(3) 2cos2x=1 cos2x= x=
±
或
x=
±
例
4.
已知函数
f
(
x
)
=
a
sin
x
-
b
cos
x
(
a
,
b
为常数,
a
≠0
,
x
∈
R
)
在
x
= 处取得最小值,
则函数
y
=
f
(
-
x
)
的对称中心坐标是
____________
.
解:由
(
a
-
b
)
=-
化简得
a
=-
b
.
所以
f
(
x
)
=
a
sin(
x
+
)
,
a
<
0
.
从而
f
(
-
x
)
=
a
sin
x
,
其对称中心坐标为
(
k
,
0)
,
k
∈
Z
.
平 面 向 量 复 习
向量的三种表示
表示
运算
向量加
法与减法
向量的相关概念
实数与
向量 的积
三 角 形 法 则
平行四边形法则
向量平行、
垂直的条件
平面向量
的基本定理
平
面
向
量
向量的数量积
向量的应用
几何表示
:
有向线段
向量的表示
字母表示
坐标表示
:
(
x
,
y
)
若
A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
)
则
AB =
(x
2
-
x
1
, y
2
-
y
1
)
返回
1.
向量的概念
:
2.
向量的表示
:
3.
零向量
:
4.
单位向量
:
5.
平行向量
:
6.
相等向量
:
7.
共线向量
:
既有大小又有方向的量
1.
有向线段
2.
字母
3.
有向线段起点和终点字母
长度为零的向量
(
零向量与任意向量都平行
长度为
1
个单位的向量
1.
方向相同或相反的非零向量
2.
零向量与任一向量平行
长度相等且方向相同的向量
平行向量就是共线向量
向量的模(长度)
1.
设
a
= ( x
, y ),
则
2.
若表示向量
a
的起点和终点的坐标分别
为
A
(x
1
,y
1
)
、
B (x
2
,y
2
)
,则
返回
例
1
:思考下列问题
:
1
、下列命题正确的是
(
1
)共线向量都相等
(
2
)单位向量都相等
(
3
)平行向量不一定是共线向量
(
4
)零向量与任一向量平行
四、例题
一、第一层次
知识回顾
:
1.
向量的加法运算
O
A
B
三角形法则
O
A
B
C
平行四边形法则
坐标运算
设: 则
“
首尾相接首尾连”
2.
向量的减法运算
1
)
减法法则
:
O
A
B
2
)
坐标运算
设: 则
设
则
思考:
若 非零向量 ,
则它们的模相等且方向相同。
同样 若:
“
同始点尾尾相接
,
指向被减向量”
一、第一层次
知识回顾
:
1.
向量的加法运算
A
B
C
AB+BC=
三角形法则
O
A
B
C
OA+OB=
平行四边形法则
坐标运算
:
则
a + b =
重要结论:
AB+BC+CA=
0
设
a = (x
1
, y
1
), b = (x
2
, y
2
)
( x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
)
AC
OC
例题:
实数
λ
与向量
a
的积
定义
:
坐标运算:
其实质就是向量的伸长或缩短!
λ
a
是一个
向量
.
它的
长度
|
λ
a
| =
|
λ
| |
a
|
;
它的
方向
(1)
当
λ≥0
时
,
λ
a
的方向
与
a
方向
相同
;
(2)
当
λ
<
0
时
,
λ
a
的方向
与
a
方向
相反
.
若
a
= (x
, y),
则
λ
a
=
λ
(x
, y)
=
(
λ
x
,
λ
y)
返回
平面向量的数量积
(
1
)
a
与
b
的夹角
:
(
2
)向量夹角的范围
:
(
3
)向量垂直
:
[0
0
,
180
0
]
a
b
θ
共同的起点
a
O
A
B
b
θ
O
A
B
O
A
B
O
A
B
O
A
B
(
4
)两个非零向量的数量积:
规定:
零向量与任一向量的数量积为
0
a · b = |a| |b|
cosθ
几何意义:
数量积
a ·b
等于
a
的长度
|a|
与
b
在
a
的方向上的投影
|b|
cosθ
的乘积
。
A
a
b
θ
B
B
1
O
B
A
θ
b
B
1
a
O
θ
B
b
(B
1
)
A
a
O
若
a=( x
1
, y
1
), b=( x
2
, y
2
)
则
a
·
b=
x
1
·
x
2
+ y
1
·
y
2
5
、数量积的运算律:
⑴
交换律:
⑵
对数乘的结合律:
⑶
分配律:
注意:
数量积不满足结合律
返回
3.
平面向量的数量积的性质
(1)
a
⊥
b
a·b
=
0
(2)
a·b
=
±
|a|·|b|(a
与
b
同向取正,反向取负
)
(3)
a·a
=
|a|
2
或
|a|
=
√
a·a
(4) (5)
|a·b|≤|a||b|
4.
平面向量的数量积的坐标表示
(1)
设
a
=
(x
1
,
y
1
)
,
b
=
(x
2
,
y
2
)
,
则
a·b
=
x
1
x
2
+y
1
y
2
,
|a|
2
=
x
2
1
+y
2
1
,
|a|
=
√
x
2
1
+y
2
1
,
a
⊥
b
<=>
x
1
x
2
+y
1
y
2
=
0
(2)
(3)
设
a
起点
(x
1
,
y
1
),
终点
(x
2
,
y
2
)
则
5
、重要定理和公式:
⑵
⑶
设
则
⑷
设两点
则
⑸
设
则
⑴
设非零向量
则
二、平面向量之间关系
向量平行
(
共线
)
条件的两种形式
:
向量垂直条件的两种形式
:
(
3
)两个向量相等的条件是两个向量的
坐标相等
.
即
:
那么
3
、平面向量的坐标运算
—
知识回忆
(
1
)
e
1
、
e
2
不共线,
a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
(
存在一对实数
λ
1
,
λ
2
) (
λ
1
,
λ
2
唯一的
)
。
(
2
)
a=xi+yj (x,y)
为
a
的直角坐标,
a=
(x,y)
(
3
)
①
若
a=(x
1
,y
1
) b=(x
2
,y
2
)
,
则
a±b=
(x
1
±
x
2
,y
1
±
y
2
)
②
A
(x
1
,y
1
)
B(
x
2
,y
2
)
AB=
(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
)
③
若
a=
(x,y)
则
λa=(
λx,λy
)
④
a=
(x
1
,y
1
)
b=
(x
2
,y
2
)
(b
≠
0)
a
∥
b x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
知识回忆
典例分析
例
5
例
6
回目录
例题
解这个方程组得
k
=-(1/3),
λ
=-(1/3),
即当
k
=-(1/3)
时,
k
a+b
与
a-3b
平行,这时
k
a+b=-a/3+b.
因为
λ
=-(1/3)<0,
所以
-a/3+b
与
a-3b
反向。
在本例中,也可以根据向量平行充分条件的坐标
形式,从
(k-3)
(-4)-10
(2k+2)=0,
先解出
k=-(1/3)
,然后再求
λ
。
注
例
2
设
a
,
b
是两个不共线向量。
AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b
A
、
B
、
D
共线则
k=_____(k
∈
R)
解:
BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ λ=-1
k=-λ k=-1
∴
k=-1
∴
知识回忆
典例分析
例
2
例
3
例
4
2
、实数与向量的积
—
典例分析
-
例
2
本页结束
回目录
1
.与平面几何的结合:
A
B
D
C
A
B
D
C
四边形
ABCD
是菱形
四边形
ABCD
是矩形
A
B
C
O
A
B
C
D
M
A
B
C
O
M
外心
重心
重心
第一层次
例题分析
类型四:三角形中的向量问题
重要结论:
A
B
C
O
第一层次
例题分析
类型四:三角形中的向量问题
练习
1
:判断正误,并简述理由。
(
√
)
(
√
)
(
√
)
(
×
)
(
×
)
(
×
)
平 面 向 量 复 习
2.
设
AB=2(
a
+5
b
)
,
BC=
2
a
+ 8
b
,
CD=3(
a
b
)
,
求证:
A
、
B
、
D
三点共线。
分析
要证
A
、
B
、
D
三点共线,可证
AB=λBD
关键是找到
λ
解:
∵BD=BC+CD=
2
a
+ 8
b+
3(
a
b
)=
a+5b
∴AB=2 BD
且
AB
与
BD
有公共点
B
∴
A
、
B
、
D
三点共线
AB∥
B
D
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