高中数学第二章2-1-1合情推理练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.1.1 合情推理练习 新人 教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．下面使用类比推理恰当的是( )． A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类推出“若 a·0＝b·0，则 a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋b c ＝a c ＋b c (c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn” 2．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7 等于( )． 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜 色 ( )． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 4．设 0<θ<π 2 ，已知 a1＝2cos θ，an＋1＝ 2＋an，猜想 an＝( )． A．2cos θ 2n B．2cos θ 2n－1 C．2cos θ 2n＋1 D．2 sinθ 2n 5．设 f(x)＝ 2x x＋2 ，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则 x2，x3，x4 分别为________．猜想 xn＝________. 6．观察下列各式 9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…. 这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为 ________． 7．把 1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一 个正三角形(如图) 试求第七个三角形数是________． 8．已知正项数列{an}满足 Sn＝1 2 an＋1 an ，求出 a1，a2，a3，a4，并推测 an. 1．下面使用类比推理恰当的是 ( )． A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类推出“若 a·0＝b·0，则 a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋b c ＝a c ＋b c (c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解析 由实数运算的知识易得 C 项正确． 答案 C 2．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7 等于 ( )． 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111. 答案 B 3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜 色 ( )． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7 余 1.∴第 36 颗珠子的颜色为白 色． 答案 A 4．设 f(x)＝ 2x x＋2 ，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则 x2，x3，x4 分别为________．猜想 xn＝________. 解析 x2＝f(x1)＝ 2 1＋2 ＝2 3 ，x3＝f(x2)＝1 2 ＝2 4 x4＝f(x3)＝ 2×1 2 1 2 ＋2 ＝2 5 ，∴xn＝ 2 n＋1 . 答案 2 3 ，2 4 ，2 5 2 n＋1 5．观察下列各式 9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…. 这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为 ________． 解析 由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4. 答案 (n＋2)2－n2＝4n＋4 6．已知正项数列{an}满足 Sn＝1 2 an＋1 an ，求出 a1，a2，a3，a4，并推测 an. 解 a1＝S1＝1 2 a1＋1 a1 ， 又因为 a1>0，所以 a1＝1. 当 n≥2 时，Sn＝1 2 an＋1 an ，Sn－1＝1 2 an－1＋ 1 an－1 ， 两式相减得： an＝1 2 an＋1 an －1 2 an－1＋ 1 an－1 ， 即 an－1 an ＝－ an－1＋ 1 an－1 ， 所以 a2－1 a2 ＝－2，又因为 a2>0，所以 a2＝ 2－1. a3－1 a3 ＝－2 2，又因为 a3>0，所以 a3＝ 3－ 2. a4－1 a4 ＝－2 3，又因为 a4>0，所以 a4＝2－ 3. 将上面 4 个式子写成统一的形式： a1＝ 1－ 0，a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3， 由此可以归纳出 an＝ n－ n－1.(n∈N＋) 综合提高 限时 25 分钟 7．下列推理正确的是 ( )． A．把 a(b＋c)与 loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay B．把 a(b＋c)与 sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)n 与(a＋b)n 类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn D．把(a＋b)＋c 与(xy)z 类比，则有：(xy)z＝x(yz) 解析 A 错误，因为 logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B 错误，因为 sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；对于 C，则有(x＋y)n＝C0 nxn＋C1 nxn－1·y＋…＋Cr n·xn－r·yr＋…＋Cn nyn；D 正确，为加乘法的结合律，故选 D. 答案 D 8．设 0<θ<π 2 ，已知 a1＝2cos θ，an＋1＝ 2＋an，猜想 an＝ ( )． A．2cos θ 2n B．2cos θ 2n－1 C．2cos θ 2n＋1 D．2 sinθ 2n 解析 法一 ∵a1＝2cos θ， a2＝ 2＋2cos θ＝2 1＋cos θ 2 ＝2cos θ 2 ， a3＝ 2＋a2＝2 1＋cos θ 2 2 ＝2cos θ 4 ，…， 猜想 an＝2cos θ 2n－1. 法二 验 n＝1 时，排除 A、C、D，故选 B. 答案 B 9．把 1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一 个正三角形(如图) 试求第七个三角形数是________． 解析 观察知第 n 个三角形数为 1＋2＋3＋…＋n＝n n＋1 2 ，∴当 n＝7 时， 7× 7＋1 2 ＝28. 答案 28 10．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质． 性质①_____________________________________________________； 性质②_________________________________________________________. 答案 六条棱长相等 四个面都全等 11．在公比为 4 的等比数列{bn}中，若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积，则有T20 T10 ，T30 T20 ，T40 T30 也成等比 数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地在公差为 3 的等差数列{an}中，若 Sn 是{an} 的前 n 项和． (1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)． 解 (1)数列 S20－S10，S30－S20，S40－S30 也是等数数列，且公差为 300. 该结论是正确的．(证明略) (2)对于∀k∈N*，都有 数列 S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k 是等差数列，且公差为 k2d. 12．(创新拓展)如图，在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为α、β， 则 cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想． 解 在长方形 ABCD 中，cos2α＋cos2β＝ a c 2＋ b c 2＝a2＋b2 c2 ＝c2 c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ m l 2＋ n l 2＋ g l 2＝m2＋n2＋g2 l2 ＝l2 l2＝1.