高科数学专题复习课件：8_8　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 109页

§8.8 　立体几何中的向量方法 ( 二 )—— 求空间角和距离 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 设 a ， b 分别是两异面直线 l 1 ， l 2 的方向向量，则 1. 两条异面直线所成角的求法 知识梳理   l 1 与 l 2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β 范围 (0 ， ] [ 0 ， π ] 求法 cos θ ＝ cos β ＝ 设直线 l 的方向向量为 a ，平面 α 的法向量为 n ，直线 l 与平面 α 所成的角 为 θ ， a 与 n 的夹角为 β ，则 sin θ ＝ |cos β | ＝ . 2. 直线与平面所成角的求法 3. 求二面角的大小 (1) 如图 ① ， AB ， CD 分别是二面角 α － l － β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ ＝ . (2) 如图 ②③ ， n 1 ， n 2 分别是二面角 α － l － β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 |cos θ | ＝ ， 二面角的平面角大小是向量 n 1 与 n 2 的夹角 ( 或其补角 ). |cos 〈 n 1 ， n 2 〉 | 利用空间向量求距离 ( 供选用 ) (1) 两点间的距离 设点 A ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，点 B ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，则 | AB | ＝ ＝ . (2) 点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段， n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 为 ＝ . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 .( 　　 ) (2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 .( 　　 ) (3) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 .( 　　 ) 思考辨析 × × × ( 5) 若二面角 α － a － β 的两个半平面 α ， β 的法向量 n 1 ， n 2 所成角为 θ ，则二面角 α － a － β 的大小是 π － θ .( 　　 ) √ × 1.( 2017· 烟台 质检 ) 已知两平面的法向量分别为 m ＝ (0,1,0) ， n ＝ (0,1,1) ，则两平面所成的二面角 为 A.45° B.135 ° C.45° 或 135° D.90 ° 考点自测 答案 解析 即〈 m ， n 〉＝ 45°. ∴ 两平面所成的二面角为 45° 或 180° － 45° ＝ 135°. 2. 已知向量 m ， n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos 〈 m ， n 〉 ＝－ ， 则 l 与 α 所成的角 为 A.30° B.60 ° C.120 ° D.150° 答案 解析 ∵ 0° ≤ θ ≤ 90° ， ∴ θ ＝ 30°. 故选 A. 3.(2016· 郑州模拟 ) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ， CA ＝ CC 1 ＝ 2 CB ，则直线 BC 1 与直线 AB 1 所成角的余弦值为 答案 解析 设 CA ＝ 2 ，则 C (0,0,0) ， A (2,0,0) ， B (0,0,1) ， C 1 (0,2,0) ， B 1 (0,2,1) ，可得 向量 ＝ ( － 2,2,1) ， ＝ (0,2 ，－ 1) ，由向量的夹角公式 得 cos 〈 〉 ， 故选 A. 4.( 教材改编 ) 如图， 正 三棱柱 ( 底面是正三角形的直棱柱 ) ABC － A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2 ，侧棱长为 2 ， 则 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角为 _____. 答案 解析 ∠ C 1 AD 为 AC 1 与平面 ABB 1 A 1 所成的角， 5. P 是二面角 α － AB － β 棱上的一点，分别在平面 α 、 β 上引射线 PM 、 PN ，如果 ∠ BPM ＝ ∠ BPN ＝ 45° ， ∠ MPN ＝ 60° ，那么二面角 α － AB － β 的大小为 ________. 答案 解析 90° 不妨设 PM ＝ a ， PN ＝ b ，如图， 作 ME ⊥ AB 于 E ， NF ⊥ AB 于 F ， ∵∠ EPM ＝ ∠ FPN ＝ 45° ， ∴ 二面角 α － AB － β 的大小为 90°. 题型分类　深度剖析 题型一　 求异 面直线所成的角 例 1 　 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ ABC ＝ 120° ， E ， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE ⊥ 平面 ABCD ， DF ⊥ 平面 ABCD ， BE ＝ 2 DF ， AE ⊥ EC . (1) 证明：平面 AEC ⊥ 平面 AFC ； 证明 如图所示，连接 BD ，设 BD ∩ AC ＝ G ，连接 EG ， FG ， EF . 在菱形 ABCD 中，不妨设 GB ＝ 1. 由 ∠ ABC ＝ 120° ，可得 AG ＝ GC ＝ . 由 BE ⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ BC ＝ 2 ，可知 AE ＝ EC . 又 AE ⊥ EC ，所以 EG ＝ ， 且 EG ⊥ AC . 在直角梯形 BDFE 中，由 BD ＝ 2 ， BE ＝ ， DF ＝ ， 可得 EF ＝ ， 从而 EG 2 ＋ FG 2 ＝ EF 2 ，所以 EG ⊥ FG . 又 AC ∩ FG ＝ G ，可得 EG ⊥ 平面 AFC . 因为 EG ⊂ 平面 AEC ，所以平面 AEC ⊥ 平面 AFC . (2) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . 解答 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 为 . 思维 升华 用向量法求异面直线所成角的一般 步骤 ( 1) 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 ； ( 2) 确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量 ； ( 3) 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 ； ( 4) 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 . 跟踪训练 1 　如图所示正方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ ，已知点 H 在 A ′ B ′ C ′ D ′ 的对角线 B ′ D ′ 上， ∠ HDA ＝ 60°. 求 DH 与 CC ′ 所成的角的大小 . 解答 如图所示，以 D 为原点， DA 为单位长度，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 即 DH 与 CC ′ 所成的角为 45°. 题型二　求直线与平面所成的角 例 2 　 (2016· 全国丙卷 ) 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ＝ AC ＝ 3 ， PA ＝ BC ＝ 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM ＝ 2 MD ， N 为 PC 的中点 . (1) 证明 MN ∥ 平面 PAB ； 证明 取 BP 的中点 T ，连接 AT ， TN ，由 N 为 PC 中点知 TN ∥ BC ， TN ＝ BC ＝ 2. 又 AD ∥ BC ，故 TN 綊 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥ AT . 因为 AT ⊂ 平面 PAB ， MN ⊄ 平面 PAB ，所以 MN ∥ 平面 PAB . (2) 求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 . 解答 取 BC 的中点 E ，连接 AE . 由 AB ＝ AC 得 AE ⊥ BC ， 以 A 为坐标原点 ， 的 方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz . 由题意知， P (0,0,4) ， M (0,2,0) ， 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 为平面 PMN 的法向量，则 思维 升华 利用向量法求线面角的方法 (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ； (2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 . 跟踪训练 2 　 在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ BD ＝ CD ＝ 1 ， AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD . 将 △ ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，如图所示 . (1) 求证： AB ⊥ CD ； 证明 ∵ 平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ， AB ⊂ 平面 ABD ， AB ⊥ BD ， ∴ AB ⊥ 平面 BCD . 又 CD ⊂ 平面 BCD ， ∴ AB ⊥ CD . (2) 若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值 . 解答 过点 B 在平面 BCD 内作 BE ⊥ BD ，如图 . 由 (1) 知 AB ⊥ 平面 BCD ， BE ⊂ 平面 BCD ， BD ⊂ 平面 BCD . ∴ AB ⊥ BE ， AB ⊥ BD . 以 B 为坐标原点 ， 分别以 的 方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 . 依题意，得 B (0,0,0) ， C (1,1,0) ， D (0,1,0) ， A (0,0,1) ， M (0 ， ) ， 设平面 MBC 的法向量 n ＝ ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， 取 z 0 ＝ 1 ，得平面 MBC 的一个法向量 n ＝ (1 ，－ 1,1). 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ ， 题型三　求二面角 例 3 　 (2016· 山东 ) 在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 O ′ 的直径， FB 是圆台的一条母线 . (1) 已知 G ， H 分别为 EC ， FB 的中点，求证： GH ∥ 平面 ABC ； 证明 设 FC 的中点为 I ，连接 GI ， HI ， 在 △ CEF 中，因为点 G 是 CE 的中点，所以 GI ∥ EF . 又 EF ∥ OB ，所以 GI ∥ OB . 在 △ CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HI ∥ BC ，又 HI ∩ GI ＝ I ， 所以平面 GHI ∥ 平面 ABC . 因为 GH ⊂ 平面 GHI ，所以 GH ∥ 平面 ABC . 解答 连接 OO ′ ，则 OO ′⊥ 平面 ABC . 又 AB ＝ BC ， 且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO ⊥ AC . 以 O 为坐标原点 ， 建立 如图所示的空间直角坐标系 Oxyz . 设 m ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 BCF 的一个法向量 . 因为平面 ABC 的一个法向量 n ＝ (0,0,1) ， 思维 升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1) 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 . (2) 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 . 跟踪训练 3 　 (2016· 天津 ) 如图，正方形 ABCD 的中心为 O ，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF ⊥ 平面 ABCD ，点 G 为 AB 的中点， AB ＝ BE ＝ 2. (1) 求证： EG ∥ 平面 ADF ； 证明 依题意， OF ⊥ 平面 ABCD ， 如图，以 O 为原点，分别 以 的 方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可 得 O (0,0,0) ， A ( － 1,1,0) ， B ( － 1 ，－ 1,0) ， C (1 ，－ 1,0) ， D (1,1,0) ， E ( － 1 ，－ 1,2) ， F (0,0,2) ， G ( － 1,0,0). 设 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) 为平面 ADF 的法向量， (2) 求二面角 O — EF — C 的正弦值； 解答 易 证 ＝ ( － 1,1,0) 为平面 OEF 的一个法向量 ， 依 题意 ， ＝ (1,1,0) ， ＝ ( － 1,1,2). 设 n 2 ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) 为平面 CEF 的法向量， 不妨取 x 2 ＝ 1 ，可得 n 2 ＝ (1 ，－ 1,1). 解 答 题型四　求空间距离 ( 供选用 ) 例 4 　 如图， △ BCD 与 △ MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD ⊥ 平面 BCD ， AB ⊥ 平面 BCD ， AB ＝ 2 ， 求点 A 到平面 MBC 的距离 . 解答 如图，取 CD 的中点 O ，连接 OB ， OM ，因为 △ BCD 与 △ MCD 均为正三角形，所以 OB ⊥ CD ， OM ⊥ CD ，又平面 MCD ⊥ 平面 BCD ，所以 MO ⊥ 平面 BCD . 以 O 为坐标原点，直线 OC ， BO ， OM 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz . 因为 △ BCD 与 △ MCD 都是边长为 2 的正三角形， 设平面 MBC 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 思维 升华 求点面距一般有以下三种方法： (1) 作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2) 等体积法； (3) 向量法 . 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 . 跟踪训练 4 　 (2016· 四川成都外国语学校月考 ) 如图所示，在四棱锥 P － ABCD 中，侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，侧棱 PA ＝ PD ＝ ， PA ⊥ PD ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC ∥ AD ， AB ⊥ AD ， AB ＝ BC ＝ 1 ， O 为 AD 中点 . (1) 求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； 解答 在 △ PAD 中， PA ＝ PD ， O 为 AD 中点 ， ∴ PO ⊥ AD . 又 ∵ 侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， PO ⊂ 平面 PAD ， ∴ PO ⊥ 平面 ABCD . 在 △ PAD 中， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ＝ ， ∴ AD ＝ 2 . 在直角梯形 ABCD 中， O 为 AD 的中点， AB ⊥ AD ， ∴ OC ⊥ AD . 以 O 为坐标原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴， OP 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 P (0,0,1) ， A (0 ，－ 1,0) ， B (1 ，－ 1,0) ， C (1,0,0) ， D (0,1,0) ， ∴ ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1). 易证 OA ⊥ 平面 POC ， ∴ ＝ (0 ，－ 1,0) 为平面 POC 的法向量， (2) 求 B 点到平面 PCD 的距离； 解答 ∵ ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ， 设平面 PCD 的法向量为 u ＝ ( x ， y ， z ) ， 取 z ＝ 1 ，得 u ＝ (1,1,1). 解答 ∴ Q (0 ， λ ， 1 － λ ). 设平面 CAQ 的法向量为 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 取 z ＝ 1 ＋ λ ，得 m ＝ (1 － λ ， λ － 1 ， λ ＋ 1). 平面 CAD 的一个法向量为 n ＝ (0,0,1) ， 整理化简，得 3 λ 2 － 10 λ ＋ 3 ＝ 0. 典例　 (12 分 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AD ⊥ AB ， AB ∥ DC ， AD ＝ DC ＝ AP ＝ 2 ， AB ＝ 1 ，点 E 为棱 PC 的中点 . (1) 证明： BE ⊥ DC ； (2) 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3) 若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF ⊥ AC ，求二面角 F － AB － P 的余弦值 . 利用 空间向量求解空间角 答题模板系列 6 规范解答 答题模板 ( 1) 证明 　依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得 B (1,0,0) ， C (2,2,0) ， D (0,2,0) ， P (0,0,2 ). [ 1 分 ] 由 E 为棱 PC 的中点，得 E (1,1,1 ). 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 为平面 PBD 的一个法向量， 可得 n ＝ (2,1,1). 因此， 2(1 － 2 λ ) ＋ 2(2 － 2 λ ) ＝ 0 ，解得 λ ＝ ， 设 n 1 ＝ ( x ， y ， z ) 为平面 FAB 的一个法向量， 不妨令 z ＝ 1 ，可得 n 1 ＝ (0 ，－ 3,1). 取平面 ABP 的法向量 n 2 ＝ (0,1,0) ， 易知，二面角 F － AB － P 是锐角， 返回 利用向量求空间角的 步骤 ： 第一步：建立空间直角坐标 系 ； 第二步：确定点的 坐标 ； 第三 步：求向量 ( 直线的方向向量、平面的法向量 ) 坐标 ； 第四步：计算向量的夹角 ( 或函数 值 ) ； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角 ； 第六 步：反思回顾 . 查看关键点、易错点和答题规范 . 返回 课时作业 1. 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ，则直线 l 与平面 α 所成的角 等于 A.120° B.60 ° C.30° D.60 ° 或 30° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 设直线 l 与平面 α 所成的角为 β ，直线 l 与平面 α 的法向量的夹角为 γ . 则 sin β ＝ |cos γ | ＝ |cos 120°| ＝ . 又 ∵ β ∈ [0° ， 90°] ， ∴ β ＝ 30° ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2016· 广州模拟 ) 二面角的棱上有 A ， B 两点，直线 AC ， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB . 已知 AB ＝ 4 ， AC ＝ 6 ， BD ＝ 8 ， CD ＝ 2 ， 则该二面角的大小 为 A.150° B.45 ° C.60° D.120 ° √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 为 BB 1 的中点，则平面 A 1 ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值 为 √ 答案 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，设棱长为 1 ， 设平面 A 1 ED 的一个法向量为 n 1 ＝ (1 ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵ 平面 ABCD 的一个法向量为 n 2 ＝ (0,0,1) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2016· 长春模拟 ) 在三棱锥 P － ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， ∠ BAC ＝ 90° ， D ， E ， F 分别是棱 AB ， BC ， CP 的中点， AB ＝ AC ＝ 1 ， PA ＝ 2 ，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值 为 √ 答案 解析 以 A 为原点， AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 由 AB ＝ AC ＝ 1 ， PA ＝ 2 ， 设平面 DEF 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取 z ＝ 1 ，则 n ＝ (2,0,1) ， 设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ ， ∴ 直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值 为 . 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ， CC 1 ＝ 2 ， E 为 CC 1 的中点，则直线 AC 1 到平面 BDE 的距离 为 √ 答案 解析 以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 ( 如图 ) ， 则 D (0,0,0) ， A (2,0,0) ， B (2,2,0) ， C (0,2,0) ， C 1 (0,2,2 ) ， E (0,2 ， ) ，易知 AC 1 ∥ 平面 BDE . 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 BDE 的法向量， 取 y ＝ 1 ，则 n ＝ ( － 1,1 ，－ ) 为 平面 BDE 的一个法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 ＝ (2,0,0) ， ∴ 点 A 到平面 BDE 的距离 是 故直线 AC 1 到平面 BDE 的距离为 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图所示，三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的侧棱长为 3 ，底面边长 A 1 C 1 ＝ B 1 C 1 ＝ 1 ，且 ∠ A 1 C 1 B 1 ＝ 90° ， D 点在棱 AA 1 上且 AD ＝ 2 DA 1 ， P 点在棱 C 1 C 上， 则 的 最小值 为 √ 答案 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (1,0,2) ， B 1 (0,1,3) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(2016· 合肥模拟 ) 在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ AA 1 ＝ 1 ， 则 直线 D 1 C 1 与平面 A 1 BC 1 所成角的正弦值为 ________. 答案 解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 D 1 (0,0,1) ， C 1 (0,2,1) ， A 1 (1,0,1) ， B (1,2,0 ). 设平面 A 1 BC 1 的一个法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设直线 D 1 C 1 与平面 A 1 BC 1 所成角为 θ ，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 ＝ 2 AB ，则直线 CD 与平面 BDC 1 所 成角的正弦值等于 ________. 答案 解析 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 如 图，设 AA 1 ＝ 2 AB ＝ 2 ，则 D (0,0,0) ， C (0,1,0) ， B (1,1,0) ， C 1 (0,1,2) ， 所以 有 令 y ＝－ 2 ， 得 平面 BDC 1 的一个法向量为 n ＝ (2 ，－ 2,1). 设 CD 与平面 BDC 1 所成的角为 θ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2016· 石家庄模拟 ) 已知点 E ， F 分别在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 BB 1 ， CC 1 上，且 B 1 E ＝ 2 EB ， CF ＝ 2 FC 1 ，则平面 AEF 与平面 ABC 所成 的 二面角 的正切值为 ________. 答案 解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 设 DA ＝ 1 ，由已知条件得 设平面 AEF 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角为 θ ，由图知 θ 为锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取平面 ABC 的法向量为 m ＝ (0,0 ，－ 1) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令 y ＝ 1 ， z ＝－ 3 ， x ＝－ 1 ，则 n ＝ ( － 1,1 ，－ 3) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2016· 南昌模拟 ) 如图 (1) ，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， ∠ DAB ＝ 60° ，点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的中点， AC ∩ EF ＝ O ，沿 EF 将 △ CEF 翻折到 △ PEF ，连接 PA ， PB ， PD ，得到如图 (2) 的五棱锥 P － ABFED ，且 PB ＝ . (1) 求证： BD ⊥ 平面 POA ； 证明 ∵ 点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的中点， ∴ BD ∥ EF . ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直， ∴ BD ⊥ AC ， ∴ EF ⊥ AC ， ∴ EF ⊥ AO ， EF ⊥ PO . ∵ AO ⊂ 平面 POA ， PO ⊂ 平面 POA ， AO ∩ PO ＝ O ， ∴ EF ⊥ 平面 POA ， ∴ BD ⊥ 平面 POA . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求二面角 B － AP － O 的正切值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设 AO ∩ BD ＝ H ，连接 BO . ∵∠ DAB ＝ 60° ， ∴△ ABD 为等边三角形， ∴ BD ＝ 4 ， BH ＝ 2 ， HA ＝ 2 ， HO ＝ PO ＝ ， 在 △ PBO 中， BO 2 ＋ PO 2 ＝ 10 ＝ PB 2 ， ∴ PO ⊥ BO . ∵ PO ⊥ EF ， EF ∩ BO ＝ O ， EF ⊂ 平面 BFED ， BO ⊂ 平面 BFED ， ∴ PO ⊥ 平面 BFED . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以 O 为原点， OF 所在直线为 x 轴， AO 所在直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图所示， 设平面 PAB 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 (1) 知平面 PAO 的一个法向量 为 ＝ ( － 2,0,0) ， 设二面角 B － AP － O 的平面角为 θ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2016· 四川 ) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ ADC ＝ ∠ PAB ＝ 90° ， BC ＝ CD ＝ AD . E 为棱 AD 的 中点 ，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. (1) 在平面 PAB 内找一点 M ，使得直线 CM ∥ 平面 PBE ，并说明理由； 解 答 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行 . 延长 AB ， DC ，相交于点 M ( M ∈ 平面 PAB ) ，点 M 即为所求的一个点 . 理由如下 ： 由已知， BC ∥ ED 且 BC ＝ ED . 所以四边形 BCDE 是平行四边形， 从而 CM ∥ EB . 又 EB ⊂ 平面 PBE ， CM ⊄ 平面 PBE ， 所以 CM ∥ 平面 PBE . ( 说明：延长 AP 至点 N ，使得 AP ＝ PN ，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若二面角 P-CD-A 的大小为 45° ，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一 　由已知， CD ⊥ PA ， CD ⊥ AD ， PA ∩ AD ＝ A ， 所以 CD ⊥ 平面 PAD ，从而 CD ⊥ PD . 所以 ∠ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角， 所以 ∠ PDA ＝ 45° ， 设 BC ＝ 1 ，则在 Rt △ PAD 中， PA ＝ AD ＝ 2. 过点 A 作 AH ⊥ CE ，交 CE 的延长线于点 H ，连接 PH ， 易知 PA ⊥ 平面 ABCD ， 从而 PA ⊥ CE ，且 PA ∩ AH ＝ A ，于是 CE ⊥ 平面 PAH . 又 CE ⊂ 平面 PCE ， 所以平面 PCE ⊥ 平面 PAH . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 过 A 作 AQ ⊥ PH 于 Q ，则 AQ ⊥ 平面 PCE ， 所以 ∠ APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角 . 在 Rt △ AEH 中， ∠ AEH ＝ 45° ， AE ＝ 1 ， 方法二　由已知， CD ⊥ PA ， CD ⊥ AD ， PA ∩ AD ＝ A ， 所以 CD ⊥ 平面 PAD . 于是 CD ⊥ PD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从而 ∠ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角 . 所以 ∠ PDA ＝ 45°. 由 ∠ PAB ＝ 90° ，且 PA 与 CD 所成的角为 90° ，可得 PA ⊥ 平面 ABCD . 设 BC ＝ 1 ，则在 Rt △ PAD 中， PA ＝ AD ＝ 2. 则 A (0,0,0) ， P (0,0,2) ， C (2,1,0) ， E (1,0,0). 作 Ay ⊥ AD ，以 A 为原点， 以 的 方向分别为 x 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 设平面 PCE 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设 x ＝ 2 ，解得 n ＝ (2 ，－ 2,1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 α ， 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 *12.(2016· 潍坊模拟 ) 如图，边长 为 的 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直 . 已知 AB ∥ CD ， AB ⊥ BC ， DC ＝ BC ＝ AB ＝ 1 ，点 M 在线段 EC 上 . (1) 证明：平面 BDM ⊥ 平面 ADEF ； 证明 ∵ DC ＝ BC ＝ 1 ， DC ⊥ BC ， ∴ AD 2 ＋ BD 2 ＝ AB 2 ， ∴∠ ADB ＝ 90° ， ∴ AD ⊥ BD . 又平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，平面 ADEF ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， ∴ BD ⊥ 平面 ADEF ， 又 BD ⊂ 平面 BDM ， ∴ 平面 BDM ⊥ 平面 ADEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 (2) 判断点 M 的位置，使得平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在平面 DAB 内过点 D 作 DN ⊥ AB ，垂足为 N ， ∵ AB ∥ CD ， ∴ DN ⊥ CD ， 又平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，平面 ADEF ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， DE ⊥ AD ， ∴ ED ⊥ 平面 ABCD ， ∴ DN ⊥ ED ， 以 D 为坐标原点， DN 所在的直线为 x 轴， DC 所在 的 直线 为 y 轴， DE 所在的直线为 z 轴，建立空间直角 坐 标 系如图所示 . ∴ B (1,1,0) ， C (0,1,0) ， E (0,0 ， ) ， N (1,0,0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设平面 BDM 的法向量为 n 1 ＝ ( x ， y ， z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近点 C 处 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12