2021版高考数学一轮复习单元评估检测六第十一十二章文含解析北师大版 13页

单元评估检测(六)‎ ‎ (第十一、十二章)‎ ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,(x,y∈N).已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 (　　)‎ A.4 B‎.3 ‎ C.2 D.1‎ ‎【解析】选A.由这组数据的平均数为10,方差为2可得:x+y=20,‎ ‎(x-10)2+(y-10)2=8,因为不要直接求出x、y,只要求出|x-y|,设x=10+t,y=10-t,由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4,所以|x-y|=2|t|=4.‎ ‎2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 (　　) ‎ A.167 B‎.137 ‎ C.123 D.93‎ ‎【解析】选B.初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,‎ 则该校女教师的人数为77+60=137.‎ ‎3.如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个方格有4×4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,‎ - 13 -‎ 小的放入B格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为=.‎ ‎4.如图所示的长方形的长为2,宽为1,在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计),然后统计知豆子的总数为m粒,其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒,据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设飞鸟图案的面积为S,则=,所以S=.‎ ‎5.在平面区域M=内随机取一点P,则点P在圆x2+y2=2内部的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.不等式对应的区域如图所示:‎ 其中满足x2+y2<2的点为阴影部分对应的点,其面积为,不等式组对应的平面区域的面积为1,故所求概率为.‎ - 13 -‎ ‎6.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲,乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.基本事件空间为Ω={(a,b)│a,b∈{1,2,3,4,5,6}},则Ω中共有36个基本事件,事件A:他们“心有灵犀”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),‎ ‎(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16个,所以事件A的概率为=.‎ ‎7.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图,根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上为三等品,用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是 (　　)‎ A.0.09　　‎B.‎0.20　‎　C.0.25　　D.0.45‎ ‎【解析】选D.由题意得,产品长度在区间[25,30)上的频率为1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.25,所以,从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的频率为0.04×5+0.25=0.45即所求概率为0.45.‎ ‎8.在区域内任取一点P,满足y≤的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ - 13 -‎ ‎【解析】选C.如图,曲线y=的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,由几何概型得P==.‎ ‎9.已知C是正方形ABDE内的一点,且满足AC⊥BC,AC=2BC ,在正方形ABDE内投一个点,该点落在图中阴影部分内的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设BC=1,AC=2,因为AC⊥BC,所以AB=,sin∠ABC=,‎ 所以S△ABC=1,因为sin∠EAC=sin∠ABC=,所以S△AEC=××2×=2,所以阴影部分的面积为AB2-S△ABC-S△AEC=‎5-1-2‎=2,所以该点落在图中阴影部分内的概率是.‎ ‎10.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,‎ ‎4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.‎ ‎5,2),(13,1),r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则 (　　)‎ A.r2<00,因为U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),‎ 所以U与V有线性相关关系,呈负相关,‎ 即r2<0.故r2<00,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.满足a2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为=.‎ - 13 -‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. ‎ ‎【解题提示】先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.‎ ‎【解析】设3名男同学为A,B,C,2名女同学为1,2,从这5人中任选2名同学参加志愿者服务,有AB,AC,A1, A2,BC,B1,B2,C1,C2,12,共10种情况.‎ 若选出的2名同学恰有1名女同学,有A1, A2,B1,B2,C1,C2,共6种情况,‎ 若选出的2名同学都是女同学,只有12这1种情况,所以所求的概率为=.‎ 答案:‎ ‎14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题.“今有北乡八千七百五十人,西乡七千二百五十人,南乡八千三百五十人,凡三乡,发役四百八十七人,则西乡遣　　　　人”. ‎ ‎【解析】今有北乡八千七百五十人,西乡七千二百五十人,南乡八千三百五十人,凡三乡,发役四百八十七人.‎ 则西乡遣:487×=145(人).‎ 答案:145‎ ‎15.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为　　　　.(保留两位有效数字) ‎ - 13 -‎ ‎【解析】如图,点(x,y)在以OA,OB为邻边的正方形内部,正方形面积为1, x,y,1能构成钝角三角形的三边,则如图弓形内部,面积为π-,由题意得=,解得π=≈3.13. ‎ 答案:3.13‎ ‎16.如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000),[3 000,3 500),[3 500,4 000]的人数依次为A1,A2,…,A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图,则样本的容量n=　　　　;图乙输出的S=　　　　.(用数字作答) ‎ - 13 -‎ ‎【解析】因为月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500=0.4,且有4 000人,所以样本的容量n==10 000,由题图乙知输出的S=A2+A3+…+A6=‎ ‎10 000-4 000=6 000.‎ 答案:10 000　6 000‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)以下茎叶图记录了甲,乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示 ‎(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差.‎ ‎(2)如果X=9,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中为x1,x2,……,xn的平均数)‎ ‎【解析】(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,‎ 所以平均数==,‎ 方差s2=×8-2×2+9-2+10-2=.‎ ‎(2)记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,即(A1,B1),(A1,B2),‎ ‎(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为‎19”‎这一事件,则C中的结果有4个,它们是(A1,B4) ,(A2,B4) ,(A3,B2) ,(A4,B2),故所求概率P(C)==.‎ ‎18.(12分)(2020·成都模拟)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内A,B,C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80‎ - 13 -‎ 分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:‎ A类行业:85,82,77,78,83,87;‎ B类行业:76,67,80,85,79,81;‎ C类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.‎ ‎(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数.‎ ‎(2)若从抽取的A类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意,得抽取的A,B,C三类行业单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义,有 A类行业的单位个数为×200=60,‎ B类行业的单位个数为×200=60,‎ C类行业的单位个数为×200=80,‎ 故该城区A,B,C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.‎ ‎(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件M.‎ 这3个单位的考核数据情形有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共20种.‎ - 13 -‎ 这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有,,,,共4种,没有都是“非星级”环保单位的情形,‎ 故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种,‎ 故所求概率P=1-=.‎ ‎19.(12分)某生产企业大力研发智能创造新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据(xi,yi)(i=1,2,…,6),如表所示:‎ 试销单价x(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 产品销量y(件)‎ q ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 已知=yi=80.‎ ‎(1)求出q的值.‎ ‎(2)已知变量x,y具有线性相关关系,求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程y=bx+a.‎ ‎(参考公式:线性回归方程中b,a 的最小二乘估计分别为b=,a=-b)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)=yi=80,可求得q=90.‎ ‎(2)b===-=-4,a=-b=80+4×6.5=106,‎ 所以所求的线性回归方程为y=-4x+106.‎ ‎20.(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:‎ - 13 -‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程.‎ ‎(2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下2×2列联表:‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 总计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 能否有95%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?‎ ‎【解析】(1)由表中数据知,=3,=100, ‎ 所以b===-8.5,‎ a=-b=125.5 , ‎ 所以所求回归直线方程为y=-8.5x+125.5.‎ ‎(2)由(1)知,令x=7,则y=-8.5×7+125.5=66(人).‎ ‎(3)由表中数据得χ2= =≈5.556>3.841,根据统计有95%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.‎ ‎21.(12分)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.‎ - 13 -‎ ‎(1)求n的值.‎ ‎(2)从袋子中有放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.‎ ‎①记“a+b=‎2”‎为事件A,求事件A的概率;‎ ‎②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x+y> 恒成立”的概率.‎ ‎【解析】(1)依题意=得n=2.‎ ‎(2)①记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况有:(s,s),(s,t),(s,k) ,(s,h) ,(t,s) ,(t,t) ,(t,k) ,(t,h),(k,s),(k,t),(k,k) ,(k,h) ,(h,s),(h,t),(h,k) ,(h,h) 共16种,其中满足“a+b=‎2”‎的有5种(s,k),(s,h),(t,t),(k,s),(h,s).所以所求概率为P(A)=.‎ ‎②记“x+y>恒成立”为事件B,则事件B等价于“x+y>1恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},它的面积为4,而事件B构成的区域为B={(x,y)|x+y>1,(x,y)∈Ω},它的面积为,‎ 所以所求的概率为P(B)=.‎ ‎22. (12分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形的圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和a个红球的盒子中一次性摸出1球(这些球除颜色外完全相同),它是红球的概率是 ,若从盒子中一次性摸出2球,且摸到的是2个相同颜色的球,即为中奖.‎ - 13 -‎ ‎(1)求实数a的值.‎ ‎(2)试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.‎ ‎【解题提示】(1)根据概率公式求出a的值即可.‎ ‎(2)根据条件概率公式分别计算,比较即可.‎ ‎【解析】(1)根据随机事件的概率公式得=,解得a=2.‎ ‎(2)设顾客去甲商场转动圆盘,指针指向阴影部分为事件A,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πr2(r为圆盘的半径),阴影区域的面积为 S=πr2=πr2.‎ 故由几何概型,得P(A)==.‎ 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B,记2个白球为白1,白2;2个红球为红1、红2;2个蓝球为蓝1、蓝2.‎ 则从盒子中一次性摸出2球,一切可能的结果有:(白1、白2),(白1、红1),(白1、红2),(白1、蓝1),(白1、蓝2);‎ ‎(白2、红1),(白2、红2),(白2、蓝1),(白2、蓝2);(红1、红2),(红1、蓝1),(红1、蓝2),(红2、蓝1),(红2、蓝2);(蓝1、蓝2)共15种;‎ 其中摸到的是2个相同颜色的球有(白1、白2),(红1、红2),(蓝1、蓝2)共3种;‎ 故由古典概型,得P(B)==.因为P(A)>P(B),所以顾客在甲商场中奖的可能性大.‎ - 13 -‎