高考数学专题复习练习：考点规范练52 8页

考点规范练52　变量间的相关关系、统计案例 ‎　考点规范练B册第38页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2016吉林白山三模)根据如下样本数据:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ ‎-2.0‎ ‎-3.0‎ 得到的回归方程为y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎,则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a‎^‎>0,b‎^‎>0 B.a‎^‎>0,b‎^‎<0‎ C.a‎^‎<0,b‎^‎>0 D.a‎^‎<0,b‎^‎<0‎ 答案B 解析由表中数据画出散点图,如图,‎ 由散点图可知b‎^‎<0,a‎^‎>0,故选B.‎ ‎2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(　　)‎ A.若K2的观测值为6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病 B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病 C.若在统计量中求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 答案C 解析独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.‎ ‎3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是(　　)‎ A.线性相关关系较强,b的值为3.25‎ B.线性相关关系较强,b的值为0.83‎ C.线性相关关系较强,b的值为-0.87‎ D.线性相关关系太弱,无研究价值 答案B 解析依题意,注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近,且该直线的斜率小于1,结合各选项知,应选B.‎ ‎4.(2016山西运城4月模拟)两个随机变量x,y的取值如下表:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x,y具有线性相关关系,且y‎^‎‎=‎b‎^‎x+2.6,则下列四个结论错误的是(　　)‎ A.x与y是正相关 B.当x=6时,y的估计值为8.3‎ C.x每增加一个单位,y大约增加0.95个单位 D.样本点(3,4.8)的残差为0.56‎ 答案D 解析由表格中的数据可知选项A正确;‎ ‎∵x‎=‎‎1‎‎4‎(0+1+3+4)=2,y‎=‎‎1‎‎4‎(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,∴4.5=2b‎^‎+2.6,即b‎^‎=0.95,∴y‎^‎=0.95x+2.6.‎ 当x=6时,y‎^‎=0.95×6+2.6=8.3,故选项B正确;‎ 由y‎^‎=0.95x‎^‎+2.6可知选项C正确;‎ 当x=3时,y‎^‎=0.95×3+2.6=5.45,残差是5.45-4.8=0.65,故选项D错误.‎ ‎5.2016年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 则下面的正确结论是(　　)‎ A.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ 答案A 解析由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15,则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得K2的观测值k=‎100×(675-300‎‎)‎‎2‎‎55×45×75×25‎≈3.030.‎ 因为2.706<3.030,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.‎ ‎6.若两个分类变量X和Y的2×2列联表如下:‎ y1‎ y2‎ 合计 x1‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ x2‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎45‎ ‎25‎ ‎70‎ 则在犯错误的概率不超过　　　　　的前提下认为X与Y之间有关系. ‎ 答案0.001‎ 解析K2的观测值k=‎70×(5×10-40×15‎‎)‎‎2‎‎45×25×20×50‎≈18.822>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为X与Y之间有关系.‎ ‎7.某单位为了了解用电量y(单位:千瓦时)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:‎ 气温/℃‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量/千瓦时 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得回归直线方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎中b‎^‎=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数约为　　　　　. ‎ 答案68‎ 解析x=10,y=40,∵回归直线方程过点(x‎,‎y),‎ ‎∴40=-2×10+a‎^‎.∴a‎^‎=60.∴y‎^‎=-2x+60.‎ 令x=-4,得y‎^‎=(-2)×(-4)+60=68.‎ ‎8.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得‎∑‎i=1‎‎10‎xi=80,‎∑‎i=1‎‎10‎yi=20,‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=184,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y‎^‎对月收入x的线性回归方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎;‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.‎ 解(1)由题意知n=10,x‎=‎‎1‎n‎∑‎i=1‎nxi=‎80‎‎10‎=8,y‎=‎‎1‎n‎∑‎i=1‎nyi=‎20‎‎10‎=2,‎ 又‎∑‎i=1‎nxi‎2‎-nx‎2‎=720-10×82=80,‎ ‎∑‎i=1‎nxiyi-nx‎ ‎y=184-10×8×2=24,‎ 由此得b‎^‎‎=‎‎24‎‎80‎=0.3,a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x=2-0.3×8=-0.4,‎ 故所求线性回归方程为y‎^‎=0.3x-0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b‎^‎=0.3>0),故x与y之间是正相关.‎ ‎(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y‎^‎=0.3×7-0.4=1.7(千元).‎ 能力提升 ‎9.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ 男 女 总计 爱　好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总　计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 附表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.‎ ‎828‎ 参照附表,得到的正确结论是(　　)‎ A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 答案A 解析依题意,由K2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,‎ 得K2=‎110×(40×30-20×20‎‎)‎‎2‎‎60×50×60×50‎≈7.8.‎ 因为P(7.8≥6.635)=0.010,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.‎ ‎10.已知x与y之间的几组数据如下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是(　　)‎ A.b‎^‎>b',a‎^‎>a' B.b‎^‎>b',a‎^‎a' D.b‎^‎a',选C.‎ ‎11.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下的列联表:‎ 优　秀 非优秀 总　计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计 已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为‎2‎‎7‎,则下列说法正确的是　　　　　. ‎ ‎①列联表中c的值为30,b的值为35‎ ‎②列联表中c的值为15,b的值为50‎ ‎③根据列联表中的数据,若在犯错误的概率不超过0.025的前提下,能认为“成绩与班级有关系”‎ ‎④根据列联表中的数据,若在犯错误的概率不超过0.025的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”‎ 答案③‎ 解析由题意知,成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75,所以c=20,b=45,①②错误.‎ 根据列联表中的数据,得到K2=‎105×(10×30-20×45‎‎)‎‎2‎‎55×50×30×75‎≈6.6>5.024,因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩与班级有关系”.故③正确,④错误.‎ 高考预测 ‎12.国内某知名大学有男生14 000人,女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天运动的时间,如表.(平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3])‎ 男生平均每天运动的时间分布情况:‎ 平均每天 运动的时间 ‎[0,0.5)‎ ‎[0.5,1)‎ ‎[1,1.5)‎ ‎[1.5,2)‎ ‎[2,2.5)‎ ‎[2.5,3]‎ 人　　数 ‎2‎ ‎12‎ ‎23‎ ‎18‎ ‎10‎ x 女生平均每天运动的时间分布情况:‎ 平均每天 ‎[0,0.5)‎ ‎[0.5,1)‎ ‎[1,1.5)‎ ‎[1.5,2)‎ ‎[2,2.5)‎ ‎[2.5,3]‎ 运动的时间 人　　数 ‎5‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎3‎ y ‎(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1);‎ ‎(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.‎ ‎①请根据样本估算该校“运动达人”的数量;‎ ‎②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关?‎ 运动达人 非运动达人 总计 男生 女生 总计 参考公式:K2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,其中n=a+b+c+d.‎ 参考数据:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解(1)由分层抽样可知,抽取的男生人数为120×‎14 000‎‎14 000+10 000‎=70,抽取的女生人数为120-70=50,故x=5,y=2.‎ 则该校男生平均每天运动的时间为:‎ ‎0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5‎‎70‎ ‎≈1.5,‎ 故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.‎ ‎(2)①样本中“运动达人”所占比例是‎20‎‎120‎‎=‎‎1‎‎6‎,故估计该校“运动达人”有‎1‎‎6‎×(14 000+10 000)=4 000(人).‎ ‎②由表格可知:‎ 运动达人 非运动达人 总计 男生 ‎15‎ ‎55‎ ‎70‎ 女生 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 总计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ 故K2的观测值k=‎120(15×45-5×55‎‎)‎‎2‎‎20×100×50×70‎‎=‎‎96‎‎35‎≈2.743<3.841.‎ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“运动达人”与性别有关.〚导学号74920541〛‎