2011高考数学专题复习：《倒数在研究函数中的应用、 19页

‎2011年《倒数在研究函数中的应用、‎ 一、选择题 ‎1、已知对任意实数，都有，且>0时，>O，>0，则<0时 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2、把函数的图象向右平移扯个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图象若对任意>0，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为 ‎．2 ．4 ．6 ．8‎ ‎3、设是函数的导函数，的图象如图‎19 -2-1‎所示，则的图象最有可能是 ‎4、的极值点的个数是 A.O B.1 C.2 D.3‎ ‎5、已知函数（为常数）在[ -2，2]上有最大值3，那么此函数在[ -2，2]上的最小值是 A.-37 B．-29‎ C．-5 D．以上都不对 ‎6、函数在下面哪个区间内是增函数 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7、设函数内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数，若对任意的，恒有，则 ‎．K的最大值为2 ．K的最小值为2‎ ‎.K的最大值为1 .K的最小值为1‎ ‎8、设∈，若函数，有大于零的极值点，则 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题 ‎9、若函数处取极值，则=‎ ‎10、设函数，若对于任意[ -1，1]，都有≥0成立．则实数的值为 三、解答题 ‎11、某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率与日产量（）件之间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．（注：正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%）‎ ‎(1)将日利润（元）表示成日产量（件）的函数利润的最大值．‎ ‎12、已知函数 ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)设=3，求在区间[1，]上的值域，其中=2.71828…是自然对数的底数．‎ ‎13、已知函数的导函数的图象关于直线对称．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若处取得极小值，记此极小值为，求 的定义域和值域．‎ ‎14、已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.‎ ‎(1)求函数的解析式：‎ ‎(2)设函数，若的极值存在，求实数m的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．‎ ‎15、已知函数，曲线在点=l处的切线不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线的距离为，若时，有极值 ‎(1)求，，的值；‎ ‎(2)求在[-3，1]上的最大值和最小值．‎ ‎16、已知函数 ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若对所有≥1都有≥ -1，求实数的取值范围．‎ ‎17、某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交（1≤≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为（8≤≤9）元时，一年的销售量为（10 -）2万件．‎ ‎(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价的函数关系式L()（销售一件商品获得的利润；‎ ‎(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出三的最大值M()．‎ ‎18、设函数在=0处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)若函数，讨论的单调性．‎ ‎19、已知=3是函数的一个极值点．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围，‎ ‎20、若函数，其中为实数，在=l处取得极值，求的值．‎ ‎21、设函数其中常数>l，讨论的单调性，‎ ‎22、已知函数，其中，为常数．‎ ‎(1)当=2时，求函数的极值；‎ ‎(2)当=l时，证明：对任意的正整数，当≥2时，有 ‎23、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米／小时）的函数解析式可以表示为：‎ ‎．已知甲、乙两地相距‎100千米．‎ ‎(1)当汽车以40千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？‎ ‎(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ 四、选择题 ‎24、如图‎19 -3 -3‎，函数与相交形成一个刚合图彤（图甲明阴影部分），则该闭合图形的面积是 A．1‎ B.‎ C.‎ D. 2‎ ‎25、由直线，曲线及轴所围图形的面积是 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎26、若，则实数等于 A．-1 B．1 C. D.‎ ‎27、等于 A． B.2 C．-2 D．+2‎ ‎28、若1N的力能使弹簧伸长‎1 cm，现在要使弹簧伸长‎10 cm，则需要做的功为 A．0.05 J B．0.5 J C．0.25 J D.1 J ‎29、设函数的导函数，则的值等于 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎30、一质点运动时速度与时间的关系为，质点做直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎31、定积分=‎ ‎．-1 ．O ．1 ．‎ 五、填空题 ‎32、已知，则的最大值为____.‎ ‎33、直线平分由曲线与直线=0，=4及=0所围成图形的面积，则=____‎ ‎34、已知>0，若,则 =____.‎ ‎35、已知，若，则=________.‎ ‎36、在直角坐标平面内，由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是____‎ ‎37、设，且，则的取值范围是_______‎ ‎38、若的值最小，则的值为____．‎ ‎39、定积分_________.‎ ‎40、根据定积分的几何意义计算定积分：‎ ‎41、如图‎19-3-4‎，设点P从原点沿曲线向点A(2，4)移动，直线、曲线及直线 ‎=2所围成图形的面积分别记为，若，则点的坐标是____．‎ ‎42、定积分的值为____.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 解析 由题意知，是奇函数，是偶函数，时，>0，，即时是增函数，是增函数，所以时是增函数，是减函数，即时，>O，．故选.‎ ‎2、 解析根据题意曲线的解析式为，则方程 ‎，即O，由题知曲线与至多只有一个交点可得，即 对任意>0恒成立，于是的最大值，令 ‎，则，由此知函数在(0，2)上为增函数，在(2，+)上为减函数，所以当=2时，函数取得最大值，即为4．于是≥4．‎ ‎3、 解析 由的图象易知当或 时，>0，故函数＝在区间（-，O）和(2，+)上单调递增；当时，0．故选．‎ ‎7、 解析 对任意的∈（-，+），恒有=，即等价在于（-，+）上＝恒成立，由知，所以∈（-，O）时当∈(O，+)时，所以，即的值域是（-，1]，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得符合，此时，故选.‎ ‎8、 解析 由得=-，即 故选．‎ 二、填空题 ‎9、解析 ，即=3．‎ ‎10、4 解析 由题意得，，当时，有<0，‎ ‎ 在[ -1，1]上为减函数，解得（与条件矛盾），不符合题意；当时，令=0，可得，当时，<0．为减函数；时,>0，为增函数，‎ 由．可得O< ≤4，又由可得≥4，综上可知=4．‎ 三、解答题 ‎11、解析 所求的函数关系式是 ‎(2)由(1)知.令=0，解得x=30．‎ 当l≤ <30时，>O；当30< x40时，<0．‎ ‎ 函数在[1，30）上是单调递增函数，在（30，40]上是单调递减函数．‎ 当= 30时，函数取得最大值，最大值为 ‎（元）．‎ 该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元.‎ ‎12、解析(1)由题知的定义域是令 ‎①当△= -8 <0，即0<<时，对一切，>O恒成立，此时在(0，+)上是增函数，‎ ‎②当△= -8 =0，即=时，仅对即时有＝O，对其余的都有>O，此时在(o，+)上也是增函数，‎ ‎③当△=-8>0，即>时，‎ 由得 又由得 综上，①当0 < ≤时，在(O，+)上是增函数．‎ ‎②当>时, 在上是减函数，‎ 在上都是增函数．‎ ‎(2)当=3时，由(1)知，在[1，2]上是减函数，在[2，]上是增函数 又 函数在[1，]上的值域为 ‎13、解析(1) ，因为函数的图象关于直线对称， ‎ 所以于是，‎ ‎(2)由（1）知，‎ ‎①当≥12时，≥O，此时无极值．‎ ‎②当 <12时，=O有两个互异实根，．不妨设<2 <．‎ 当<时, >O，在区间（-，）内为增函数；‎ 当<<时，时，>0，在区间(，+)内为增函数．‎ 所以，在处取得极大值，在=处取得极小值．‎ 因此，当且仅当 <12时，函数在=处存在唯一的极小值，所以=>2．‎ 于是的定义域为（2，+∞)．由得 于是 当>2时，，所以函数在区间(2，+ )内是减函数，故的值域为（一．8）．‎ ‎14、解析(1)由已知，切点为(2，O)，故有=0．即4b +e +3 =0．①‎ 又由已知，得，②‎ 联立①②，解得．‎ 所以函数的解析式为 ‎(2)因为令 当函数有极值时，则△≥O，方程有实数解，‎ 由，得l.‎ ‎①当=l时，=0有实数根左右两侧均有>0，故函数无极值；‎ ‎②当0，解得 令l时，>0，‎ ‎ 故是[1，+ ）上的增函数，所以的最小值是g(1)=l，‎ ‎ 所以的取值范围是(-，1).‎ ‎17、解析 (1)由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为 令=O，得或= 10（舍去）．‎ 在 [8，9]上单调递减，故 ‎ 即.‎ ‎ 答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润最大，最大值为万元．‎ ‎18、解析(1)因为 ，故，又在处取得极值，故=O，从而．‎ ‎ 由曲线在点（1，）处的切线与直线相互垂直可知该切线的斜率为2，即 (1)=2，即=2，故=1．‎ ‎(2)由(1)知，‎ ‎=O，即 ‎①当，即时，有在上恒成立，故函数在上为增函数．‎ ‎②当，即时，，仅当时=0，故时，函数在上为增函数．‎ ‎③当．即时，方程有两个不相等的实数根 当 (一∞，)时，>O，故在（一∞，1-上为增函数；当时，<0，故在(1-上为减函数；‎ 当)时，O，故在+m)上为增函数．‎ ‎19、解析(1)因为 所以，因此= 16.‎ ‎(2)由(1)知 当（-1，1）和 (3，+∞)时，>0；当 (l，3)时，<0‎ 所以，的单调递增区间是（-1，1），(3，+∞) 的单调递减区间是(1，3).‎ ‎(3)由(2)知，在（-1，1）内单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，+)上单调递增，且当或时，=0．‎ 所以的极大值为 ，极小值为：‎ 因为, ，所以在 的三个单调区间（-1，1），（1,3）,(3,+ )上，直线与= 的图象各有一个交点，当且仅当< < ．因此，的取值范围为 ‎20、解析 ， 在处取得极值 ＝0即，经检验导数在处左右异号，故 ‎21、解析 ，由1知，当时，>0，故在区间（-，2）上是增函数；当时>0,故在区间上是减函数；当时> O，故在区间上是增函数．综上，当时在区间（-，2）和上是增区间上是减函数．‎ ‎22、解析(1)由已知得函数的定义域为{|>l}，‎ 当=2时，所以 ‎①当>0时，由=0得 此时 当 (1，)时，0单调递增．‎ ‎②当时，<0恒成立，所以无极值．‎ 综上所述，=2时，‎ 当>0时,在处取得极小值，极小值为f(l+‎ 当≤0时无极值．‎ ‎(2)方法一 因为=l，所以 当为偶数时，‎ 令 则 所以当 [2，+）时，单调递增，‎ 又=O，‎ 因此恒成立，‎ 所以≤-1成立，‎ 当为奇数时，要证 ，由于，所以只需证 ‎ 令 ，则 所以当 [2，+∞）时，单调递增，又 ．‎ 所以当≥2时，恒有>O，即成立，‎ 综上所述，结论成立．‎ 方法二 当=l时，‎ 当≥2时，对任意的正整数，恒有 故只需证明令 则 当≥2时，≥0，故在[2，+）上单调递增，‎ 因此，当≥2时，≥=O，即成立，‎ 故当≥2时，有，即 ．‎ ‎23、解析(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油 ‎（升）．‎ ‎(2)当速度为千米／时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，‎ 依题意得 令=O得= 80．‎ ‎ 当 (0，80)时,O，是增函数．‎ ‎ 所以当= 80时，取到极小值h(80) =11. 25．‎ ‎ 因为在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值，‎ ‎ 答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11. ‎25升．‎ 四、选择题 ‎24、 解析 函数与的两个交点为(O，1)和(2，1)，所以闭合图形的面积等于．故选.‎ ‎25、 解析 这个面积是故选.‎ ‎26、 解析 ，故选．‎ ‎27、 解析 原式故选．‎ ‎28、 解析 设力 (是比例系数)，当时，，可解得 ‎，则，所以故选．‎ ‎29、 解析 由于的导函数，所以,于是 ‎=．故选．‎ ‎30、 解析 故选．‎ ‎31、 解析 故选．‎ 五、填空题 ‎32、 解析 ‎ ‎+时取得最大值 ‎33、 解析 由题意可知：即，解得，故 ‎34、3 解析 ，解得（=-2舍去）．‎ ‎35、 解析 解得或,故填-1或 ‎36、 解析 故填 ‎37、 解析 可知：‎ 于是．‎ ‎38、解析 ‎ ‎，令时，的值最小，‎ ‎39、1 解析 由定积分的性质得 ‎40、1 解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数的图象、‎ 直线=l，=3和轴所围成的图形的面积，故 ‎41、 解析 设直线的方程为，点的坐标为，‎ 则 即 解得 解得，即直线的方程为，所以点的坐标为,‎ ‎42、0 解析 ‎