2015年数学理高考课件2-10 导数的概念及其运算 33页

第十节　导数的概念及其运算 导数的概念 1 ．函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 (1) 定义 (2) 几何意义 函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 的几何意义是在曲线 y ＝ f ( x ) 上点 处的 ． ( 瞬时速度就是位移函数 s ( t ) 对时间 t 的导数 ) 相应地，切线方程为 ． 2 ． 函数 f ( x ) 的导函数 称函数 f ′ ( x ) ＝ 的导函数． ( x 0 ， f ( x 0 )) 切线的斜率 y － y 0 ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数 y ＝ | x | 在点 x ＝ 0 处就没有导数，但在定义域上的其他点处都有导数． 2 ．曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， y 0 ) 处的切线是指 P 为切点，斜率为 k ＝ f ′ ( x 0 ) 的切线，是唯一的一条切线． 3 ．曲线 y ＝ f ( x ) 过点 P ( x 0 ， y 0 ) 的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1 ．曲线 y ＝ 2 x － x 3 在 x ＝－ 1 处的切线方程为 ( 　　 ) A ． x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 　　　　 B ． x ＋ y － 2 ＝ 0 C ． x － y ＋ 2 ＝ 0 D ． x － y － 2 ＝ 0 解析： ∵ f ( x ) ＝ 2 x － x 3 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 2 － 3 x 2 . ∴ f ′ ( － 1) ＝ 2 － 3 ＝－ 1. 又 f ( － 1) ＝－ 2 ＋ 1 ＝－ 1 ， ∴ 切线方程为 y ＋ 1 ＝－ ( x ＋ 1) ，即 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0. 答案： A 2 ． (2014 年郑州模拟 ) 直线 y ＝ kx ＋ 1 与曲线 y ＝ x 3 ＋ ax ＋ b 相切于点 A (1,2) ，则 a b ＝ ( 　　 ) A ．－ 8 　　　 B ．－ 6 　　　 C ．－ 1 　　　 D ． 5 解析： 由题意得 y ＝ kx ＋ 1 过点 A (1,2) ， ∴ 2 ＝ k ＋ 1 ，即 k ＝ 1. ∵ 曲线 y ′ ＝ 3 x 2 ＋ a ，又 ∵ 直线 y ＝ kx ＋ 1 与曲线相切于点 (1,2) ， ∴ y ′ ＝ k ，且 y ′ | x ＝ 1 ＝ 3 ＋ a ，即 1 ＝ 3 ＋ a ， ∴ a ＝－ 2 ，代入曲线方程 y ＝ x 3 ＋ ax ＋ b ，可解得 b ＝ 3. ∴ a b ＝ ( － 2) 3 ＝－ 8. 故选 A. 答案： A 导数的运算 1 ．基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 (1)[ f ( x )± g ( x )] ′ ＝ ． (2)[ f ( x ) · g ( x )] ′ ＝ ． 3 ． 复合函数的导数 设 u ＝ v ( x ) 在点 x 处可导， y ＝ f ( u ) 在点 u 处可导，则复合函数 f [ v ( x )] 在点 x 处可导，且 f ′( x ) ＝ ，即 y ′ x ＝ . f ′ ( x )± g ′ ( x ) f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) f ′( u ) · v ′( x ) y ′ u · u ′ x ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如 ( x n ) ′ ＝ nx n － 1 中 n ≠ 0 且 n ∈ Q ， (cos x ) ′ ＝－ sin x . 2 ．注意公式不要用混，如 ( a x ) ′ ＝ a x ln a ，而不是 ( a x ) ′ ＝ xa x － 1 . 3 ．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即 [ u ( x )± v ( x )± … ± w ( x )] ′ ＝ u ′ ( x )± v ′ ( x )± … ± w ′ ( x ) ． 3 ．函数 y ＝ x cos x － sin x 的导数为 ( 　　 ) A ． x sin x B ．－ x sin x C ． x cos x D ．－ x cos x 解析： y ′ ＝ ( x cos x ) ′ － (sin x ) ′ ＝ x ′ cos x ＋ x (cos x ) ′ － cos x ＝ cos x － x sin x － cos x ＝－ x sin x . 答案： B 4 ．函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ 2 a )( x － a ) 2 的导数为 ( 　　 ) A ． 2( x 2 － a 2 ) B ． 2( x 2 ＋ a 2 ) C ． 3( x 2 － a 2 ) D ． 3( x 2 ＋ a 2 ) 解析： f ′ ( x ) ＝ ( x － a ) 2 ＋ ( x ＋ 2 a )[2( x － a )] ＝ 3( x 2 － a 2 ) ． 答案： C 导数的运算 反思总结 1 ． 求函数的导数的具体方法是 (1) 遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2) 遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3) 遇到复杂分式，先将分式化简，再求导． 2 ．复合函数的求导，要选择恰当的中间变量，分清复合关系． 变式训练 1 ． (2013 年高考江西卷 ) 设函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 内可导，且 f (e x ) ＝ x ＋ e x ，则 f ′ (1) ＝ ________. 答案： 2 导数的几何意义 [ 答案 ] 　 (1)A 　 (2) ① 4 x － y － 4 ＝ 0 　 ② 4 x － y － 4 ＝ 0 或 12 x － 3 y ＋ 20 ＝ 0. 反思总结 1 ． 求曲线切线方程的步骤 (1) 求出函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ x 0 处的导数，即曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处切线的斜率； (2) 由点斜式方程求得切线方程为 y － y 0 ＝ f ′ ( x 0 ) · ( x － x 0 ) ． 2 ．求曲线的切线方程需注意两点 (1) 当曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线平行于 y 轴 ( 此时导数不存在 ) 时，切线方程为 x ＝ x 0 ； (2) 当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 变式训练 2 ．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ： y ＝ x 3 － 10 x ＋ 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ，则点 P 的坐标为 ________ ． 解析： 由 y ＝ x 3 － 10 x ＋ 3 ，得 y ′ ＝ 3 x 2 － 10 ， ∵ 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ， ∴ y ′ ＝ 3 x 2 － 10 ＝ 2 ，即 x 2 ＝ 4 ，又点 P 在第二象限， ∴ x ＝－ 2 ，又点 P 在曲线 C 上， ∴ y ＝－ 8 ＋ 20 ＋ 3 ＝ 15 ，则点 P 的坐标为 ( － 2,15) ． 答案： ( － 2,15) —— 导数几何意义的应用 ) 导数几何意义的应用是高考命题的热点内容之一．主要命题角度有： (1) 利用导数的几何意义求参数值或范围． (2) 求切线倾斜角的范围． 利用导数的几何意义求参数值或范围 【 典例 1】 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x ，若过点 A (0,16) 的直线方程为 y ＝ ax ＋ 16 ，与曲线 y ＝ f ( x ) 相切，则实数 a 的值是 ( 　　 ) A ．－ 3 　　　　　　　　　 B ． 3 C ． 6 D ． 9 (2)(2014 年温州第一次适应性测试 ) 若曲线 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 ________ ． [ 答案 ] 　 (1)D 　 (2)( － ∞ ， 0) 由题悟道 利用导数的几何意义，求参数值或参数范围时要注意判断已知点是否为切点． 求切线倾斜角的范围 [ 答案 ] 　 B 由题悟道 利用导数的几何意义，先确定切线斜率的范围，再根据 k ＝ tan α ， α ∈ [0 ， π) 及正切函数图象可求倾斜角 α 的范围． 1 ．设函数 y ＝ x sin x ＋ cos x 的图象上的点 ( x 0 ， y 0 ) 处的切线的斜率为 k ，若 k ＝ g ( x 0 ) ，则函数 k ＝ g ( x 0 ) 的图象大致为 ( 　　 ) 答案： A 答案： ln 2 － 1 本小节结束 请按 ESC 键返回