2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.5.2 简单的三角恒等变换 13页

5.5.2 简单的三角恒等变换 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三 角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒 等式，并能进行一些简单的应用． 知识点一 半角公式 sin α 2 ＝± 1－cos α 2 ， cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， tan α 2 ＝± 1－cos α 1＋cos α ＝ sin α 1＋cos α ＝1－cos α sin α . 知识点二 辅助角公式 辅助角公式： asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ). 其中 tan θ＝b a 1．cos α 2 ＝ 1＋cos α 2 .( × ) 2．对任意α∈R，sin α 2 ＝1 2cos α都不成立．( × ) 3．若 cos α＝1 3 ，且α∈(0，π)，则 cos α 2 ＝ 6 3 .( √ ) 4．对任意α都有 sin α＋ 3cos α＝2sin α＋π 3 .( √ ) 一、三角恒等式的证明 例 1 求证：1＋sin θ－cos θ 1＋sin θ＋cos θ ＋1＋sin θ＋cos θ 1＋sin θ－cos θ ＝ 2 sin θ. 证明 方法一 左边＝ 2sin2θ 2 ＋2sin θ 2cos θ 2 2cos2θ 2 ＋2sin θ 2cos θ 2 ＋ 2cos2θ 2 ＋2sin θ 2cos θ 2 2sin2θ 2 ＋2sin θ 2cos θ 2 ＝ sin θ 2 cos θ 2 ＋ cos θ 2 sin θ 2 ＝ 1 cos θ 2sin θ 2 ＝ 2 sin θ ＝右边． 所以原式成立． 方法二 左边＝1＋sin θ－cos θ2＋1＋sin θ＋cos θ2 1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ ＝21＋sin θ2＋2cos2θ 1＋sin θ2－cos2θ ＝ 4＋4sin θ 2sin θ＋2sin2θ ＝ 2 sin θ ＝右边． 所以原式成立． 反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之， 即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事 实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练 1 求证： 2sin xcos x sin x＋cos x－1sin x－cos x＋1 ＝1＋cos x sin x . 证明 左边＝ 2sin xcos x 2sin x 2cos x 2 －2sin2x 2 2sin x 2cos x 2 ＋2sin2x 2 ＝ 2sin xcos x 4sin2x 2 cos2x 2 －sin2x 2 ＝ sin x 2sin2x 2 ＝ cos x 2 sin x 2 ＝ 2cos2x 2 2sin x 2cos x 2 ＝1＋cos x sin x ＝右边． 所以原等式成立． 二、三角恒等变换的综合问题 例 2 已知函数 f(x)＝4cos ωx·sin ωx＋π 4 (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论 f(x)在区间 0，π 2 上的单调性． 解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin ωx＋π 4 ＝2 2sin ωx·cos ωx＋2 2cos2ωx ＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2 ＝2sin 2ωx＋π 4 ＋ 2. 因为 f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π 2ω ＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin 2x＋π 4 ＋ 2. 若 0≤x≤π 2 ，则π 4 ≤2x＋π 4 ≤5π 4 . 当π 4 ≤2x＋π 4 ≤π 2 ，即 0≤x≤π 8 ，f(x)单调递增； 当π 2<2x＋π 4 ≤5π 4 ，即π 8