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  • 2021-06-11 发布

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

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‎5.3 函数的单调性 第1课时 函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义.(重点)‎ ‎2.会用单调性的定义证明函数的单调性.(重点、难点)‎ ‎3.会求函数的单调区间.(重点、难点)‎ 通过学习本节内容,提升学生的直观想象和逻辑推理素养.‎ 我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似下图所示的记忆规律.‎ 如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量(单位:%),则不难看出,上图中,y是x的函数,记这个函数为y=f(x).‎ 这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?‎ ‎1.单调增(减)函数的概念 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.‎ 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2.当x1f(x2)‎ ‎①称y=f(x)在区间I上为减函数.‎ - 7 -‎ ‎②I称为y=f(x)的减区间.‎ ‎2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.‎ 思考:在增、减函数定义中,能否把“任意两个值x1,x‎2”‎改为“存在两个值x1,x‎2”‎?‎ ‎[提示] 不能.如图所示,虽是f(-1)1,∴x1x2>1,∴x1x2-1>0.‎ 又x1x2时,f(x1)>f(x2);另一方面是逆向应用,即若y=f(x)在给定区间上是增函数,则当f(x1)f(x2)时,x1>x2.当y=f(x)在给定区间上是减函数时,同理可得相应结论.‎ ‎2.根据函数的单调性研究参数的取值范围,往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式,此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围推出参数的范围.‎ ‎3.已知f(x)在R上为减函数且f(‎2m)≥f(9-m),则m的取值范围是    .‎ m≤3 [由题意可得‎2m≤9-m,∴m≤3.]‎ ‎1.对函数单调性的理解 ‎(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.‎ ‎(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1、x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1x2).‎ - 7 -‎ ‎(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间,则此函数在这个区间上不具有单调性.‎ ‎2.单调性的判断方法 ‎(1)定义法:利用定义严格判断.‎ ‎(2)图象法:作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调区间.‎ ‎(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断:“增+增=增”,“减+减=减”,“增-减=增”,“减-增=减”.‎ ‎1.下列四个函数中,在(0,+∞)上是增函数的是(  )‎ A.f(x)=- B.f(x)=x2-3x C.f(x)=3-x D.f(x)=-|x|‎ A [函数f(x)=-的单调递增区间是(-∞,-1),(-1,+∞),显然在(0,+∞)上是增函数;函数f(x)=x2-3x在上单调递减,在上单调递增;函数f(x)=3-x在(0,+∞)上是减函数;函数f(x)=-|x|在(0,+∞)上是减函数,故B、C、D错误.]‎ ‎2.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调减区间为    .‎  [由题图知,f(x)在上图象呈下降趋势,∴单调减区间为.]‎ ‎3.若函数f(x)=(k-2)x+b在R上是减函数,则k的取值范围为    .‎ ‎(-∞,2) [∵f(x)=(k-2)x+b在R上是减函数,‎ ‎∴k-2<0,∴k<2.]‎ ‎4.已知函数f(x)=x++2,x∈[1,+∞).‎ ‎(1)判断函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性;‎ ‎(2)解不等式:f<f(x+1 010).‎ ‎[解] (1)设1≤x1<x2,‎ f(x1)-f(x2)=x1+-x2- - 7 -‎ ‎=(x1-x2)+ ‎=(x1-x2) ‎=(x1-x2)·.‎ 由1≤x1<x2得x1-x2<0,x1x2>1,‎ ‎∴2x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),‎ ‎∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)∵f(x)在[1,+∞)上为增函数,‎ ‎∴f<f(x+1 010)⇒ 解得≤x<,故原不等式的解集为.‎ - 7 -‎