高中数学必修1教案：第二章（第5课时）函数的表示2 7页

课 题：2.2 函数的表示方法2—函数的值域 教学目的：‎ ‎1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.‎ ‎2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力；‎ 教学重点：值域的求法 教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定 函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.‎ ‎⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.‎ ‎⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.‎ 前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法 ‎ 二、讲解新课：‎ ‎ 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；‎ 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；‎ 二次函数的定义域为R，‎ 当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为 ‎{}.‎ 例1．求下列函数的值域 ‎① y=3x+2(-1x1) ② ‎ ‎③ ④‎ 解：①∵-1x1，∴-33x3，‎ ‎∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]‎ ‎②∵ ∴‎ 即函数的值域是 { y| y2}‎ ‎③ ‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ 即函数的值域是 { y| yÎR且y¹1}（此法亦称分离常数法）‎ ‎④当x>0，∴=，‎ 当x<0时，=－‎ ‎∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）‎ 函数的图像为：‎ ‎2．二次函数比区间上的值域(最值)：‎ 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：‎ ‎①； ‎ ‎ ②；‎ ‎③； ④；‎ 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ‎ ‎①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，‎ ‎∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.‎ ‎②∵顶点横坐标2[3,4]，‎ 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ‎ ‎∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].‎ ‎③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,‎ ‎∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].‎ ‎④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,‎ ‎∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].‎ 注：对于二次函数,‎ ‎⑴若定义域为R时，‎ ‎①当a>0时，则当时，其最小值；‎ ‎②当a<0时，则当时，其最大值.‎ ‎⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].‎ ‎①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）‎ 时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.‎ ‎②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.‎ 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；‎ ‎②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.‎ ‎3．判别式法（△法）：‎ 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数的值域 方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 ①‎ 当 y¹1时 ∵xÎR ∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0‎ 由此得 (5y+1)0‎ 检验 时 （代入①求根）‎ ‎∵2 Ï 定义域 { x| x¹2且 x¹3} ∴‎ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y¹1‎ 综上所述，函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}‎ 方法二：把已知函数化为函数 (x¹2)‎ ‎ 由此可得 y¹1 ‎ ‎∵ x=2时 即 ‎ ‎ ∴函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}‎ 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.‎ ‎4．换元法 例4．求函数的值域 解：设 则 t0 x=1- 代入得 ‎ ‎ ∵t0 ∴y4‎ ‎5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. ‎ 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.‎ 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图 ‎ ‎ 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.‎ 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.‎ 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.‎ 三、练习：‎ ‎1 ；‎ 解：∵x0，，∴y11.‎ 另外，此题利用基本不等式解更简捷：‎ ‎2 ‎ ‎∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，‎ ‎∴函数的定义域为R，‎ ‎∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，‎ 即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),‎ 解得0y5，又∵y0, ∴0