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- 2021-06-11 发布
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3.1.1 方程的根与函数的零点教案
【教学目标】
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;
2. 掌握零点存在的判定条件.
【教学重难点】
教学重点:方程的根与函数的零点的关系。
教学难点:求函数零点的个数问题。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
(二)情景导入、展示目标。
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
① 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
② 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
③ 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
根据以上结论,可以得到:
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到吗?
已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新知:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点(zero point).
反思:
函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?
试试:
(1)函数的零点为 ; (2)函数的零点为 .
小结:方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出的图象,求的值,观察和的符号
② 观察下面函数的图象,
在区间上 零点; 0;
在区间上 零点; 0;
在区间上 零点; 0.
新知:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有<0,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根.
讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.
(三)典型例题
例1求函数的零点的个数.
解析:引导学生借助计算机画函数图像,缩小解的范围。
解:用计算器或计算机做出的对应值表和图像(见课本88页)
知则,这说明函数在区间内有零点。由于函数在定于域内是增函数,所以它仅有一个零点。
点评:注意计算机与函数的单调性在本题中的应用。
变式训练1:求函数的零点所在区间.
小结:函数零点的求法.
① 代数法:求方程的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
例2求函数的零点大致所在区间.
分析;方程的根与函数的零点的应用,学生小组讨论自主完成。
变式训练2
求下列函数的零点:
(1);
(2).
(四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
【板书设计】
一、函数零点与方程的根的关系
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本88页1,2
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
课前预习学案
一、预习目标
预习方程的根与函数零点的关系。
二、预习内容
(预习教材P86~ P88,找出疑惑之处)
复习1:一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.
判别式= .
当 0,方程有两根,为 ;
当 0,方程有一根,为 ;
当 0,方程无实数.
复习2:方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系?
判别式
一元二次方程
二次函数图象
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;
2. 掌握零点存在的判定条件.
学习重难点:方程的根与函数的零点的关系,求函数零点的个数问题
二、学习过程
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
① 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
② 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
③ 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
根据以上结论,可以得到:
一元二次方程的根就是相应二次函数
的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到吗?
新知:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点(zero point).
反思:
函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?
试试:
(1)函数的零点为 ; (2)函数的零点为 .
小结:方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出的图象,求的值,观察和的符号
② 观察下面函数的图象,
在区间上 零点; 0;
在区间上 零点; 0;
在区间上 零点; 0.
新知:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有<0,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根.
讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.
三、 典型例题
例1求函数的零点的个数.
变式一:求函数的零点所在区间.
小结:函数零点的求法.
① 代数法:求方程的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
例2求函数的零点大致所在区间.
变式训练二
求下列函数的零点:
(1);
(2).
四、反思总结
图像连续的函数的零点的性质:
(1)函数的图像是连续的,当它通过零点时(非偶次零点),函数值变号.
推论:函数在区间上的图像是连续的,且,那么函数在区间上至少有一个零点.
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.
五、当堂达标
1. 求函数的零点所在区间,并画出它的大致图象.
课后练习与提高
1. 函数的零点个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数在上连续,且有.则函数在上( ).
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
3. 函数的零点所在区间为( ).
A. B. C. D.
4. 函数的零点为 .
5. 若函数为定义域是R的奇函数,且在上有一个零点.则的零点个数为 .
6. 已知函数.
(1)为何值时,函数的图象与轴有两个零点;
(2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求值.
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