高考数学复习练习第1部分 专题七 第一讲 预测演练提能 3页

‎1．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.‎ 求证：EF∶DF＝BC∶AC.‎ 证明：∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，‎ ‎∴由射影定理得AC2＝CD·BC，‎ ‎∴＝. ①‎ ‎∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.‎ 又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，‎ ‎∴＝. ②‎ 由①②得＝，‎ 即EF∶DF＝BC∶AC.‎ ‎2．(2013·广东高考改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC.‎ 解：连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，‎ ‎∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得CD2＝ED·AD　①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝＝2 ，∴BC＝2 .‎ ‎3．(2013·湖南高考改编)如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，求圆心O到弦CD的距离．‎ 解：由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，从而PC＝＝4，所以DC＝5，所以圆心O到弦CD的距离等于＝.‎ ‎4．如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B、C两点，圆O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎(1)证明A、P、O、M四点共圆；‎ ‎(2)求∠OAM＋∠APM的大小．‎ 解：(1)证明：连接OP、OM.‎ 因为AP与圆O相切，所以OP⊥AP.‎ 因为M是圆的弦BC的中点，所以OM⊥BC.‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．‎ ‎(2)由(1)，得A、P、O、M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM.由(1)，得OP⊥AP.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ ‎5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．‎ ‎(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．‎ 解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，‎ 所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，‎ 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.‎ 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，‎ 故∠EFA＝∠CFE＝90°.‎ 所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．‎ ‎(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，‎ 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.‎ 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎6．(2013·东北三省四市联考)自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.‎ ‎(1)求证：△MBP与△MPC相似；‎ ‎(2)求∠MPB的大小．‎ 解：(1)证明：因为MA为圆的切线，所以MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.‎ 因为∠BMP＝∠PMC，所以△MBP与△MPC相似．‎ ‎(2)由(1)中△MBP与△MPC相似，‎ 可得∠MPB＝∠MCP.‎ 在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝＝20°.‎