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- 2021-06-11 发布
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第3讲 数学归纳法
一、选择题
1. 利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”时,在验证n=1成立时,左边应该是( )
A 1 B 1+a
C 1+a+a2 D 1+a+a2+a3
解析 当n=1时,左边=1+a+a2,故选C.
答案 C
2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是 ( ).
A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立
解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.
答案 D
3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 ( ).
A. B.-
C.- D.+
解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,
左侧=1-+-+…+-+-.
答案 C
4.对于不等式1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).
证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,
则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,
故当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.
12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1
=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.
(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;
(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).
(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.
∵48+4r=64,∴r=4.
(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.
①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.
②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,
T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.
根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n.
13.设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.
解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.
下证:n≥6(n∈N*)时都有2n>n2+2n.
①n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;
②假设n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;
由①、②可得,对于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2+2n成立.
14.数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).
(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;
(2)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.
(1)证明 先证充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c0,即xn<1-.
由②式和xn≥0还可得,对任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③
反复运用③式,得
-xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,
xn<1-和 -xn<(1-)n-1两式相加,知
2-1<(1-)n-1对任意n≥1成立.
根据指数函数y=(1-)n的性质,得
2-1≤0,c≤,故00,即证xn<对任意n≥1成立.
下面用数学归纳法证明当0xn,即{xn}是递增数列.
由①②知,使得数列{xn}单调递增的c的范围是.
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