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- 2021-06-11 发布
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1.(2016·四川)如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角PCDA的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【解析】 (1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,
所以CM∥平面PBE,
(2)方法一 由(1)及已知,CD⊥PA,PA⊥AB,CD⊥AD,PA∩AD=A,AB∩CD=M,所以CD⊥平面PAD,PA⊥平面ABCD.
从而CD⊥PD,PA⊥AD.
所以∠PDA是二面角PCDA的平面角.
所以∠PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH,从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过点A作AQ⊥PH于点Q,则AQ⊥平面PCE.
所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=.
在Rt△PAH中,PH==,
所以sin∠APH==.
方法二 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角PCDA的平面角.
所以∠PDA=45°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),
所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
由得
取x=2,得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α,
则sin α===.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
2.(2017·长春模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.
(1)求证:直线AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】 (1)证明 如图,作FM∥CD交PC于M,连接ME.
∵点F为PD的中点,
∴FM=CD.
∴AE=AB=FM,
∴AEMF为平行四边形,
∴AF∥EM.
∵AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,
∴直线AF∥平面PEC.
(2)连接DE,∵∠DAB=60°,
∴DE⊥DC.
如图所示,建立坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E,A,B,
∴=,=(0,1,0).
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z).
∵n·=0,n·=0,
∴
取x=1,则z=,∴平面PAB的一个法向量为n=.
∵=(0,1,-1),设向量n与所成的角为θ,
∴cos θ===-,
∴PC与平面PAB所成角的正弦值为.
3.(2017·兰州模拟)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.
(1)求证:AD1⊥BC;
(2)若直线DD1与直线AB所成的角为,求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值.
【解析】 (1)证明 连接D1C,则D1C⊥平面ABCD,
∴D1C⊥BC.
在等腰梯形ABCD中,连接AC,
∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,∴BC⊥AC,
∴BC⊥平面AD1C,∴AD1⊥BC.
(2)方法一 ∵AB∥CD,∴∠D1DC=,
∵CD=1,∴D1C=.
在底面ABCD中作CM⊥AB,连接D1M,则D1M⊥AB,
∴∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角.
在Rt△D1CM中,CM=,D1C=,
∴D1M==,∴cos∠D1MC=,
即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.
方法二 由(1)知AC,BC,D1C两两垂直,
∵AB∥CD,∴∠D1DC=,
∵CD=1,∴D1C=.
在等腰梯形ABCD中,∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,
∴AC=,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,),
设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),
由得
可得平面ABC1D1的一个法向量n=(1,,1).
又=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量,
因此cos〈,n〉==,
∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.
4.(2016·浙江)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.
【解析】 (1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK.因此,BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又AC∩CK=C,
所以BF⊥平面ACFD.
(2)方法一 过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.
因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角BADF的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,
得FQ=.
在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得
QB=,cos∠BQF=.
所以二面角BADF的平面角的余弦值为.
方法二 如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.
取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC.
又因为平面BCFE⊥平面ABC,所以KO⊥平面ABC.
以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E,F.因此=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).
设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).
由得
取m=(,0,-1);
由得取n=(3,-2,).
于是cos〈m,n〉==.
所以二面角BADF的平面角的余弦值为.
5.(2017·山西模拟)如图,在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)求证:平面FBC⊥平面ACFE;
(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cos θ的取值范围.
【解析】 (1)证明 在四边形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,
∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.
又因为BC⊂平面FBC,所以平面FBC⊥平面ACFE.
(2)由(1)知可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz,令FM=λ(0≤λ≤),
则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).
设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,
由得
取x=1,则n1=(1,,-λ).
∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
∴cos θ==
=.
∵0≤λ≤,∴当λ=0时,cos θ有最小值,
当λ=时,cos θ有最大值,∴cos θ∈.
6.(2017·浙江十校联合体联考)如图(1)所示,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,AD=6,DC=BC=3.过点B作BE⊥AD于点E,P是线段DE上的一个动点.将△ABE沿BE向上折起,使平面AEB⊥平面BCDE.连接PA,PC,AC(如图(2)).
(1)取线段AC的中点Q,问:是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,求出PD的长;若不存在,说明理由.
(2)当EP=ED时,求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值.
【解析】 (1)存在.当P为DE的中点时,满足PQ∥平面AEB.取AB的中点M,连接EM,QM.
由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC.
又PE∥BC,且PE=BC,所以PE∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ为平行四边形,故ME∥PQ.
又PQ⊄平面AEB,ME⊂平面AEB,所以PQ∥平面AEB.
从而存在点P,使得PQ∥平面AEB,此时PD=.
(2)由平面AEB⊥平面BCDE,交线为BE,且AE⊥BE,所以AE⊥平面BCDE.又BE⊥DE,所以以E为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),则E(0,0,0),B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0),
所以=(3,1,0),=(0,-2,3).
平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0).
设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),
由得取y=3,得n2=(-1,3,2),所以cos〈n1,n2〉==,即平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为.
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