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  • 2021-06-11 发布

高考数学专题复习练习:8-9 专项基础训练

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‎ 1.(2016·四川)如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;‎ ‎(2)若二面角PCDA的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎【解析】 (1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.‎ 延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:‎ 由已知,BC∥ED,且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形.‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,‎ 所以CM∥平面PBE,‎ ‎(2)方法一 由(1)及已知,CD⊥PA,PA⊥AB,CD⊥AD,PA∩AD=A,AB∩CD=M,所以CD⊥平面PAD,PA⊥平面ABCD.‎ 从而CD⊥PD,PA⊥AD.‎ 所以∠PDA是二面角PCDA的平面角.‎ 所以∠PDA=45°.‎ 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH,从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过点A作AQ⊥PH于点Q,则AQ⊥平面PCE.‎ 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=.‎ 在Rt△PAH中,PH==,‎ 所以sin∠APH==.‎ 方法二 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,‎ 所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角PCDA的平面角.‎ 所以∠PDA=45°.‎ 由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),‎ 所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),‎ 由得 取x=2,得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α,‎ 则sin α===.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎2.(2017·长春模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.‎ ‎(1)求证:直线AF∥平面PEC;‎ ‎(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.‎ ‎【解析】 (1)证明 如图,作FM∥CD交PC于M,连接ME.‎ ‎∵点F为PD的中点,‎ ‎∴FM=CD.‎ ‎∴AE=AB=FM,‎ ‎∴AEMF为平行四边形,‎ ‎∴AF∥EM.‎ ‎∵AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,‎ ‎∴直线AF∥平面PEC.‎ ‎ (2)连接DE,∵∠DAB=60°,‎ ‎∴DE⊥DC.‎ 如图所示,建立坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E,A,B,‎ ‎∴=,=(0,1,0).‎ 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z).‎ ‎∵n·=0,n·=0,‎ ‎∴ 取x=1,则z=,∴平面PAB的一个法向量为n=.‎ ‎∵=(0,1,-1),设向量n与所成的角为θ,‎ ‎∴cos θ===-,‎ ‎∴PC与平面PAB所成角的正弦值为.‎ ‎3.(2017·兰州模拟)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.‎ ‎(1)求证:AD1⊥BC;‎ ‎(2)若直线DD1与直线AB所成的角为,求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值.‎ ‎【解析】 (1)证明 连接D1C,则D1C⊥平面ABCD,‎ ‎∴D1C⊥BC.‎ 在等腰梯形ABCD中,连接AC,‎ ‎∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,∴BC⊥AC,‎ ‎∴BC⊥平面AD1C,∴AD1⊥BC.‎ ‎(2)方法一 ∵AB∥CD,∴∠D1DC=,‎ ‎∵CD=1,∴D1C=.‎ 在底面ABCD中作CM⊥AB,连接D1M,则D1M⊥AB,‎ ‎∴∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角.‎ 在Rt△D1CM中,CM=,D1C=,‎ ‎∴D1M==,∴cos∠D1MC=,‎ 即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.‎ 方法二 由(1)知AC,BC,D1C两两垂直,‎ ‎∵AB∥CD,∴∠D1DC=,‎ ‎∵CD=1,∴D1C=.‎ 在等腰梯形ABCD中,∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,‎ ‎∴AC=,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,),‎ 设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),‎ 由得 可得平面ABC1D1的一个法向量n=(1,,1).‎ 又=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量,‎ 因此cos〈,n〉==,‎ ‎∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.‎ ‎4.(2016·浙江)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(1)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.‎ ‎【解析】 (1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK.因此,BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又AC∩CK=C,‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)方法一 过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.‎ 因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.‎ 所以∠BQF是二面角BADF的平面角.‎ 在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,‎ 得FQ=.‎ 在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得 QB=,cos∠BQF=.‎ 所以二面角BADF的平面角的余弦值为.‎ 方法二 如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.‎ 取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC.‎ 又因为平面BCFE⊥平面ABC,所以KO⊥平面ABC.‎ 以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E,F.因此=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).‎ 设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).‎ 由得 取m=(,0,-1);‎ 由得取n=(3,-2,).‎ 于是cos〈m,n〉==.‎ 所以二面角BADF的平面角的余弦值为.‎ ‎5.(2017·山西模拟)如图,在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.‎ ‎(1)求证:平面FBC⊥平面ACFE;‎ ‎(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cos θ的取值范围.‎ ‎【解析】 (1)证明 在四边形ABCD中,‎ ‎∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,‎ ‎∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,‎ ‎∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.‎ ‎∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.‎ 又因为BC⊂平面FBC,所以平面FBC⊥平面ACFE.‎ ‎ (2)由(1)知可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz,令FM=λ(0≤λ≤),‎ 则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),‎ ‎∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).‎ 设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,‎ 由得 取x=1,则n1=(1,,-λ).‎ ‎∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,‎ ‎∴cos θ== ‎=.‎ ‎∵0≤λ≤,∴当λ=0时,cos θ有最小值,‎ 当λ=时,cos θ有最大值,∴cos θ∈.‎ ‎6.(2017·浙江十校联合体联考)如图(1)所示,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,AD=6,DC=BC=3.过点B作BE⊥AD于点E,P是线段DE上的一个动点.将△ABE沿BE向上折起,使平面AEB⊥平面BCDE.连接PA,PC,AC(如图(2)).‎ ‎(1)取线段AC的中点Q,问:是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,求出PD的长;若不存在,说明理由.‎ ‎(2)当EP=ED时,求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【解析】 (1)存在.当P为DE的中点时,满足PQ∥平面AEB.取AB的中点M,连接EM,QM.‎ 由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC.‎ 又PE∥BC,且PE=BC,所以PE∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ为平行四边形,故ME∥PQ.‎ 又PQ⊄平面AEB,ME⊂平面AEB,所以PQ∥平面AEB.‎ 从而存在点P,使得PQ∥平面AEB,此时PD=.‎ ‎(2)由平面AEB⊥平面BCDE,交线为BE,且AE⊥BE,所以AE⊥平面BCDE.又BE⊥DE,所以以E为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),则E(0,0,0),B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0),‎ 所以=(3,1,0),=(0,-2,3).‎ 平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0).‎ 设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),‎ 由得取y=3,得n2=(-1,3,2),所以cos〈n1,n2〉==,即平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为.‎