高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 7页

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 [学习目标] 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． [知识链接] 写出下列各小题的计算结果： (1)(a±b)2＝________； (2)(3a＋2b)(3a－2b)________； (3)(3a＋2b)(－a－3b)________． (4)(x－y)÷( x＋ y)________． 答案 (1)a2±2ab＋b2 (2)9a2－4b2 (3)－3a2－11ab－6b2 (4) x－ y [预习导引] 1．复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对任意复数 z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数 用 z 表示．即 z＝a＋bi，则 z ＝a－bi. 4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则z1 z2 ＝a＋bi c＋di ＝a＋bic－di c＋dic－di ＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i. 要点一 复数乘除法的运算 例 1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. 规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行 简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． (2)像 3＋4i 和 3－4i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为 a＋bi 和 a－bi，其数 值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 跟踪演练 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2. 解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝ －20＋15i； (2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 例 2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)； (2) 1＋i 1－i 6＋ 2＋ 3i 3－ 2i . 解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝1＋2i3＋4i 3－4i3＋4i ＝－5＋10i 25 ＝－1 5 ＋2 5i； (2)原式＝ 1＋i2 2 6＋ 2＋ 3i 3＋ 2i  32＋ 22 ＝i6＋ 6＋2i＋3i－ 6 5 ＝－1＋i. 规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分 母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)． 跟踪演练 2 计算：(1) 7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i2＋i －i . 解 (1) 7＋i 3＋4i ＝ 7＋i3－4i 3＋4i3－4i ＝25－25i 25 ＝1－i； (2)－1＋i2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i·i －i·i ＝－1－3i. 要点二 共轭复数及其应用 例 3 已知复数 z 满足：z· z ＋2iz＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和． 解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z· z ＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即 a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴ a2＋b2－2b＝8 2a＝6 ，解得 a＝3 b＝1 ， ∴a＋b＝4，∴复数 z 的实部与虚部的和是 4. 规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪演练 3 已知复数 z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 z . 解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi 且|z|＝ a2＋b2＝1，即 a2＋b2＝1. ① 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以 3a－4b＝0，且 3b＋4a≠0. ② 由①②联立，解得 a＝4 5 ， b＝3 5 ， 或 a＝－4 5 ， b＝－3 5. 所以 z ＝4 5 －3 5i，或 z ＝－4 5 ＋3 5i. 1．复数－i＋1 i 等于( ) A．－2i B．1 2i C．0 D．2i 答案 A 解析 －i＋1 i ＝－i－i2 i ＝－2i，选 A. 2．(2013·江西)已知集合 M＝{1,2，zi}，i 为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数 z＝( ) A．－2i B．2i C．－4i D．4i 答案 C 解析 本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为 M∩N＝{4}，所以 zi＝4，设 z ＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由 zi＝4，利用复数相等，得 a＝0，b＝－4.故选 C. 3．若复数 z＝1＋i，i 为虚数单位，则(1＋z)z 等于( ) A．1＋3i B．3＋3i C．3－i D．3 答案 A 解析 (1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i. 4．设复数 z 的共轭复数是 z ，若复数 z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且 z1· z 2 是实数，则实数 t 等于 ( ) A.3 4 B．4 3 C．－4 3 D．－3 4 答案 A 解析 ∵z2＝t＋i，∴ z 2＝t－i. z1· z 2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i， 又∵z1· z 2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝3 4. 5．复数 z＝2－i 2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D 解析 因为 z＝2－i 2＋i ＝2－i2 5 ＝3－4i 5 ，故复数 z 对应的点在第四象限，选 D. 1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘 法对加法的分配律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都 乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想． 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，利 用复数相等的充要条件转化. 一、基础达标 1．设复数 z 满足 iz＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( ) A．－i B．i C．－1 D．1 答案 A 解析 z＝1 i ＝－i. 2．i 为虚数单位，1 i ＋1 i3 ＋1 i5 ＋1 i7 等于( ) A．0 B．2i C．－2i D．4i 答案 A 解析 1 i ＝－i，1 i3 ＝i，1 i5 ＝－i，1 i7 ＝i，∴1 i ＋1 i3 ＋1 i5 ＋1 i7 ＝0. 3．若 a，b∈R，i 为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 答案 D 解析 ∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴ b＝－1 a＝1 . 4．在复平面内，复数 i 1＋i ＋(1＋ 3i)2 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析 i 1＋i ＋(1＋ 3i)2＝1 2 ＋1 2i＋(－2＋2 3i)＝－3 2 ＋ 2 3＋1 2 i，对应点 －3 2 ，2 3＋1 2 在第 二象限． 5．设复数 i 满足 i(z＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是________． 答案 1 解析 由 i(z＋1)＝－3＋2i 得到 z＝－3＋2i i －1＝2＋3i－1＝1＋3i. 6．复数 2i －1＋ 3i 的虚部是________． 答案 －1 2 解析 原式＝2i－1－ 3i 1＋3 ＝2 3－2i 4 ＝ 3 2 －1 2i，∴虚部为－1 2. 7．计算：(1) 2＋2i 1－i2 ＋ 2 1＋i 2 010； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解 (1) 2＋2i 1－i2 ＋ 2 1＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋ 2 2i 1 005 ＝i(1＋i)＋ 1 i 1 005＝－1＋i＋(－i)1 005 ＝－1＋i－i＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 二、能力提升 8．(2013·新课标)设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( ) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案 A 解析 因为复数 z 满足 z(1－i)＝2i，所以 z＝ 2i 1－i ＝ 2i1＋i 1－i1＋i ＝－1＋i. 9．(2013·山东)若复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为( ) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 答案 D 解析 由(z－3)(2－i)＝5，得 z＝ 5 2－i ＋3＝ 52＋i 2－i2＋i ＋3＝52＋i 5 ＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以 z ＝5－i，选 D. 10．已知 z 是纯虚数，z＋2 1－i 是实数，那么 z 等于________． 答案 －2i 解析 设 z＝bi(b∈R，b≠0)，则z＋2 1－i ＝bi＋2 1－i ＝bi＋21＋i 1－i1＋i ＝2－b＋b＋2i 2 ＝2－b 2 ＋b＋2 2 i 是实数，所以 b＋2＝0，b＝－2，所以 z＝－2i. 11．(2013·山东聊城期中)已知复数 z＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若 z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求 a ＋b 的值． 解 由 z＝1＋i2＋31－i 2＋i ， 得 z＝2i＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i， 又 z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i， ∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1. 12．已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z· z －3iz＝ 10 1－3i ，求 z. 解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 又 z· z －3iz＝ 10 1－3i ， ∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝101＋3i 10 ， ∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， ∴ a2＋b2＋3b＝1， －3a＝3. ∴ a＝－1， b＝0， 或 a＝－1， b＝－3 . ∴z＝－1，或 z＝－1－3i. 三、探究与创新 13．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b、c 为实数)． (1)求 b，c 的值； (2)试说明 1－i 也是方程的根吗？ 解 (1)因为 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴ b＋c＝0 2＋b＝0 ，得 b＝－2 c＝2 . ∴b、c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)方程为 x2－2x＋2＝0. 把 1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．