湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（理）试题（图片版） 12页

高三一模数学（理科）参考答案 第 1 页 2019 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D C B A A B C D C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．－ 3 2 a＋ 3 1 b 14．1＋ 5 15． 25 72 16．Sn＝（8n－4）3n＋4 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得 CA sin3sin2  ，即 CA sin2 3sin  ．·········（1 分） 由 CB tan2tan  ，得 BCCB cossin2cossin  ， 两边同加 BCcossin ，得   BCCB cossin3sin  ， 即   BCCACB cossin3sin2 3sinsin  ．····························（3分） 由  ,0C ，得 0sin C ，故 2 1cos B ．································（4 分） 由  ,0B ，得 3 B ．···············································（5 分） （Ⅱ）由 33tan A ，得 14 213sin,14 7cos  AA ， 故 ABC 的面积 14 213 2 133  bcS ， 整理得 74bc ．·····················································（9 分） 又由 Abccbaca cos2,32 222  ， 得 44 9 222  cbc ，同 74bc 联立， 得 4112 4 9 2 2 2  ccc ．················································（10 分） 化简整理得 0488165 24  cc ，解得 23,14,22  abc ．·········（11 分） 故 ABC 的周长为 1425  cba ．·······························（12 分） 18．解：（Ⅰ）延长 BA，CD 交于点 E，连接 PE，则 PE 平面 PCD．若 AM∥平面 PCD， 由平面 PBE  平面 PCD＝PE，AM 平面 PBE，则 AM∥PE．由 AD＝ 3 1 BC，AD∥BC， 则 PB PM ＝ EB EA ＝ 3 1 ，故点 M 是线段 PB 上靠近点 P 的一个三等分点．··········（4 分） 高三一模数学（理科）参考答案 第 2 页 （Ⅱ）∵PA⊥AD，PA⊥CD，AD  CD＝D，AD  平面 ABCD，CD  平面 ABCD，则 PA⊥平面 ABCD，以点 A 为坐标原点，以 AD，AP 所在的直线分别为 y 轴、z 轴，过点 A 与 平面 PAD 垂直的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，······················（7 分） 则 P（0，0，2）， D（0，1，0）， C（t，1，0）， B（t，  1 －1，0），则 BC（0，2－  1 ， 0）， PC（t，1，－2）， CD（－t，0，0） 设平面 PBC 和平面 PCD 的法向量分别为 n1＝（x1，y1，z1）， n2＝（x2，y2，z2）． 由 n1⊥BC，n1⊥PC 得      0 0 1 1 PC BC n n 即           02 012 111 1 zytx y  ， 令 x1＝1，则 z1＝ 2 t ，故 n1＝（1，0， 2 t ）．··········（9 分） 同理可求得 n2＝（0，2，1）．························（10 分） 于是 21 21cos nn nn  ，则 10 10 521 2 2     t t ，解之得 t＝±2（负 值舍去），故 t＝2． ∴CD＝2．····························································（12 分） 19．解：（Ⅰ）调整前 y 关于 x 的表达式为 y＝          80005000,1.0500045 50003500,03.03500 3500,0 xx xx x ， ········································（2 分） 调整后 y 关于 x 的表达式为 y＝       80005000,03.05000 5000,0 xx x ．··········（4 分） （Ⅱ）①由频数分布表可知从［3000，5000）及［5000，7000）的人群中抽取 7 人，其 中［3000，5000）中占 3 人，［5000，7000）的人中占 4 人， 再从这 7 人中选 4 人，所以 Z 的取值可能为 0，2，4，·······················（5 分） P（Z＝0）＝P（a＝2，b＝2）＝ 4 7 2 4 2 3 C CC ＝ 35 18 ， P（Z＝2）＝P（a＝1，b＝3）＋P（a＝3，b＝1）＝ 4 7 1 4 3 3 3 4 1 3 C CCCC  ＝ 35 16 ， P（Z＝4）＝（a＝0，b＝4）＝ 4 7 4 4 0 3 C CC ＝ 35 1 ， Z 0 2 4 高三一模数学（理科）参考答案 第 3 页 所以其分布列为 ·································（7 分） 所以 E（Z）＝ 0× 35 18 ＋2× 35 16 ＋4× 35 1 ＝ 35 36 ．····························（8 分） ②由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元， 按调整起征点前应纳个税为 1500×3％＋2500×10％＝295 元；···············（10 分） 按调整起征点后应纳个税为 2500×3％＝75 元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交 220 元， 即个人的实际收入增加了 220 元， 所以小红的实际收入增加了 220 元．······································（12 分） 20．（ Ⅰ）设 xMF 2 ，则 MFF 21 内， 由余弦定理得 2 22 5 14120cos222      xx ， 化简得 05 6 5 16            xx ，解得 5 6x ， 故 42 21  MFMFa ， ∴ 2a ，得 3222  cab ， 所以椭圆 C 的标准方程为 134 22  yx ．···································（4 分） （Ⅱ）已知 A（－2，0）， B（2，0）， 设 T（x，y）， P（x1，y1）， Q（x2，y2）， 由 22 1 1  x y x ykk PATA ，① 22 2 2  x y x ykk QBTB ，② 两式相除得 2 2 1 1 2 22 2 y x x y x x   ．·······································（6 分） 又   4 3 4 44 3 422 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1    x x x y x y x y ， 故 1 1 1 1 2 4 3 2 y x x y  ， P 35 18 35 16 35 1 高三一模数学（理科）参考答案 第 4 页 故    21 21 2 2 1 1 22 4 32 22 2 yy xx y x x y x x   ，③ ························（8 分） 设 PQ 的方程为 1 myx ，代入 134 22  yx 整理， 得   09643 22  myym ，  ＞0 恒成立．························································（10 分） 把        43 9 43 6 221 221 myy m myy 代入③， 得      3 1 43 9 143 6 43 9 4 3 1 4 311 4 3 2 2 2 22 2 21 2121 2 21 21              m m mmmm yy yymyym yy mymy x x ， 得到 x＝4，故点 T 在定直线 x＝4 上．····································（12 分） 21．解：（Ⅰ）因为 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以只需考虑 x∈（0，＋∞） 上的极值点个数，       ,0,1ln9 1 23 xxxxxxf 时，   2 22 2 2 1 1113 1 1 113 1 x xx x xxf         ．·······················（1 分） 令   1113 1 22       xxxh ，   22 3 1 3 3 3 3 1 3 1 x xxx x xx xh                   ， ∴当       3 3,0x 时，    xhxh ,0 单调递减，当        ,3 3x 时，    xhxh ,0 单 调递增， ∴   003 3       hh ．··················································（3 分） 取   017161163 16,6       hx ， 高三一模数学（理科）参考答案 第 5 页 ∴在区间       ,3 3 上存在唯一的 x0 使   00 xh ．··························（4 分） ∴f（x）在区间 0,0 x 上单调递减，在区间 ,0x 上单调递增．··············（5 分） 又 f（x）为奇函数， ∴f（x）在区间 0, x 上单调递增，在区间 00, xx 上单调递减，在区间 ,0x 上 单调递增， ∴f（x）的极值点共 2 个．···············································（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f（x）在区间       3 3,0 内单调递减，且 f（x）＜0 恒成立．··（7 分） ∴       3 3,0x 时，   01ln9 1 23  xxxx ， 即得   xxxx  23 1ln9 1 ．··········································（8 分） 又令           3 3,04 1 n x ， 得 nnnn na                           4 1 4 114 1ln4 1 9 1 23 ．························（10 分） ∴ 3 1 4 113 1 4 11 4 114 1 4 1…4 1 4 1 4 1… 32 321                                        n n n naaaa ．··（12 分） 22．解：（Ⅰ）      32 12:1 ty txC 消去 t，得 4 yx ．又        sin cos y x ，代入 4 yx 得： 04sincos   ． ∴ 0224sin: 044sin204cossin 1               C ．················（2 分） C2：p＝2a cos 化为：（x－a）2＋y2＝a2（a＞0），又 C2 关于 C1：x－y＝4 对称， ∴（a，0）∈C1，∴a＝4，∴C2：（ x－4）2＋y2＝16．························（4 分） 高三一模数学（理科）参考答案 第 6 页 （Ⅱ）C2 向左平移 4 个单位长度得：x2＋y2＝16，按      yy xx 2 3 变换后得：x2＋ 2 3 2      y ＝16 16 2x ＋ 12 2y ＝1．······················································（6 分） ∴C3： ＋ ＝1，∴令 A（4，0）， B（0，2 3 ），∴ AB ＝2 7 ． 易得：lAB： 3 x＋2y－4 3 ＝0，设 P（4cos ，2 sin ）到 lAB 的距离为 d． 则 d＝ 7 34cos34sin34   ＝ 7 14sin234      ≤   7 1234  ． ······································（8 分） 当 sin（ ＋ 4  ）＝－1  ＋ 4  ＝  2 3 ＝ 4 5 时，d 有最大值   7 1234  ． ∴（ S△ABP）max＝ AB2 1 d＝ 2 1 ×2 7 ×   7 1234  ＝4 3 ＋4 6 ．········（10 分） 23．解：（Ⅰ）               2 1,13 2 10,1 0,13 12 xx xx xx xxxf ， 由   4xf 解得 1x 或 3 5x ．········································（5 分） （Ⅱ）∵ 38 3628 36 8 3168 333 2222  abababababbaabba ． 当 a＝b＝2 时等号成立，即知   312  xxxf ． 解方程，分情况讨论：①当 x≤0 时，－3x＋1＜3，故 3 2 ＜x≤0；②当 x≥ 2 1 时，3x －1＜3，故 2 1 ≤x＜ 3 4 ；③当 0＜x＜ 2 1 ，满足 1－x＜3． ∴x 的取值集合为 M＝    3 4 3 2 xx ．·································（ 10 分）