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- 2021-06-11 发布
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2009年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1, 2)的圆的方程为（ ）
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
3. (x+2)6的展开式中x3的系数是（ ）
A.20 B.40 C.80 D.160
4. 已知向量a→=(1, 1)，b→=(2, x)，若a→+b→与4b→-2a→平行，则实数x的值是( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
5. 设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=( )
A.n24+7n4 B.n23+5n3 C.n22+3n4 D.n2+n
6. 下列关系式中正确的是（ ）
A.sin11∘0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是（ ）
A.2 B.22 C.4 D.5
8. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A.155 B.355 C.14 D.13
9. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ ）
A.若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0, 1)
B.若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(22，233)
C.若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为(233，2)
D.若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为(233，+∞)
10. 把函数f(x)=x3-3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11. 若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)=________．
12. 记f(x)=log3(x+1)的反函数为y=f-1(x)，则方程f-1(x)=8的解x=________．
13. 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）．
14. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125124121123127，则该样本标准差s=________（克）（用数字作答）．
15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(-c, 0)，F2(c, 0)，若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 设函数f(x)＝(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3．
(Ⅰ)求ω的值；
6 / 6
(Ⅱ)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
17. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中：
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率．
18. 如图，在五面体ABCDEF中，AB // DC，∠BAD=π2，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3,ED=7，求：
（1）直线AB到平面EFCD的距离；
（2）二面角F-AD-E的平面角的正切值．
19. 已知f(x)=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f(x)过点(2, 5)，g(x)=(x+a)f(x)．
（1）求曲线y=g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=-1时函数y=g(x)取得极值，确定y=g(x)的单调区间．
6 / 6
20. 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=55，离心率e=5．
（1）求该双曲线的方程；
（2）如图，点A的坐标为(-5，0)，B是圆x2+(y-5)2=1上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．
21. 已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*，
（1）求b1，b2，b3的值；
（2）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；
（3）求证：|b2n-bn|<164⋅117n-2．
6 / 6
参考答案与试题解析
2009年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.A
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.C
10.B
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11.{2, 4, 8}
12.2
13.72
14.2
15.(2-1，1)
三、解答题（共6小题，满分75分）
16.（1）f(x)＝(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx＝sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=2sin(2ωx+π4)+2
依题意得2π2ω=2π3，故ω的值为32．
（2）依题意得：g(x)=2sin[3(x-π2)+π4]+2=2sin(3x-5π4)+2
由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2(k∈Z)
解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)
故y＝g(x)的单调增区间为：[23kπ+π4,23kπ+7π12](k∈Z)．
17.解：设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1，2
设Bl表示第l株乙种大树成活，l=1，2
则A1，A2，B1，B2独立，
且P(A1)=P(A2)=56，P(B1)=P(B2)=45(I)至少有1株成活的概率为：1-P(A1¯⋅A2¯⋅B1¯⋅B2¯)=1-P(A1¯)⋅P(A2¯)⋅P(B1¯)⋅P(B2¯)=1-(16)2(15)2=899900
（2）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
两种大树各成活1株的概率为：P=C215616⋅C214515=1036×825=445
18.解：法一：（1）∵ AB // DC，DC⊂平面EFCD，
∴ AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，
过点A作AG⊥FD于G，因∠BAD=π2AB // DC，
故CD⊥AD；又∵ FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，CD⊥FD，
故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，
所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离．
在Rt△FCD中，FD=FC2-CD2=9-4=5
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中
FA=FD2-AD2=5-4=1
∴ AG=FA⋅ADFD=25=255．
6 / 6
即直线AB到平面EFCD的距离为255．
（2）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由∠BAD=π2，知AD⊥AB，
故AD⊥平面ABFE∴ DA⊥AE，
所以，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为θ．
在Rt△AED中，AE=ED2-AD2=7-4=3，
由平行四边形ABCD得，FE // BA，从而∠AFE=π2
在Rt△AEF中，FE=AE2-AF2=3-1=2，
故tanθ=FEFA=2
所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为2．
法二：
（1）如图以A点为坐标原点，AB→，AD→，AF→的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系数，则A(0, 0, 0)
C(2, 2, 0)D(0, 2, 0)设F(0, 0, z0)(z0>0)可得FC→=(2,2,-z0)，
由|FC→|=3．即22+22+z02=3，
解得F(0, 0, 1)
∵ AB // DC，DC⊂面EFCD，
所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离．
设A点在平面EFCD上的射影点为G(x1, y1, z1)，
则AG→=(x1,y1,z1)因AG→⋅DF→=0且AG→⋅CD→=0，
而DF→=(0,-2,1)CD→=(-2,0,0)，
此即-2y1+z1=0-2x1=0解得x1=0①，知G点在yoz面上，
故G点在FD上.GF→ // DF→，GF→=(-x1,-y1,-z1+1)
故有y12=-z1+1②联立①，②解得，G(0,25，45)
∴ |AG→|为直线AB到面EFCD的距离．
而AG→=(0,25,45)所以|AG→|=255
（2）因四边形ABFE为平行四边形，
则可设E(x0, 0, 1)(x0<0)，ED→=(-x0,2,-1)．
由|ED→|=7得x02+22+1=7，
解得x0=-2．即E(-2，0，1)．故AE→=(-2,0,1)
由AD→=(0,2,0)，AF→=(0,0,1)
因AD→⋅AE→=0，AD→⋅AF→=0，
故∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，
又∵ EF→=(2,0,0)，|EF→|=2，|AF→|=1，
所以tan∠FAE=|EF→||FA→|=2
19.解：（1）∵ f(x)=x2+bx+c为偶函数，故f(-x)=f(x)即有
(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c解得b=0
又曲线y=f(x)过点(2, 5)，得22+c=5，有c=1
∵ g(x)=(x+a)f(x)=x3+ax2+x+a从而g'(x)=3x2+2ax+1，
∵ 曲线y=g(x)有斜率为0的切线，故有g'(x)=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0解得
6 / 6
a∈(-∞, -3]∪[3, +∞)所以实数a的取值范围:a∈(-∞, -3]∪[3, +∞)；
（2）因x=-1时函数y=g(x)取得极值，故有g'(-1)=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)令g'(x)=0，得x1=-1，x2=-13
当x∈(-∞, -1)时，g'(x)>0，故g(x)在(-∞, -1)上为增函数
当x∈(-1,-13)时，g'(x)<0，故g(x)在(-1, -13)上为减函数
当x∈(-13,+∝)时，g'(x)>0，故g(x)在(-13，+∝)上为增函数．
20.解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
设c=a2+b2，
由准线方程为x=55得a2c=55，由e=5
得ca=5解得a=1,c=5
从而b=2，∴ 该双曲线的方程为x2-y24=1；
（2）设点D的坐标为(5，0)，
则点A、D为双曲线的焦点，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵ B是圆x2+(y-5)2=1上的点，
其圆心为C(0,5)，半径为1，
故|BD|≥|CD|-1=10-1
从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1
当M，B在线段CD上时取等号，
此时|MA|+|MB|的最小值为10+1
∵ 直线CD的方程为y=-x+5，
因点M在双曲线右支上，故x>0
由方程组4x2-y2=4y=-x+5
解得x=-5+423，y=45-423
所以M点的坐标为(-5+423，45-423)
21.解：（1）∵ a2=4，a3=17，a4=72，
所以b1=4．b2=174，b3=7217
（2）由an+2=4an+1+an得an+2an+1=4+anan+1即bn+1=4+1bn
所以当n≥2时，bn>4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2)
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（3）当n=1时，结论|b2-b1|=14<1764成立
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+1bn-4-1bn-1|=|bn-bn-1bnbn-1|≤117|bn-bn-1|≤1172|bn-1-bn-2|≤117n-1|b2-b1|<164⋅117n-2(n≥2)
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+...+|b2n-b2n-1|14[(117)n-1+(117)n+(117)2n-2]=14⋅(117)n-1(1-117n)1-117<164⋅117n-1(n∈N*)
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