高考数学难点突破01__集合思想及应用 5页

高中数学难点 1 集合思想及应用 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和 理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观 点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用. ●难点磁场 (★★★★★)已知集合 A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且 0≤x≤2},如果 A∩ B≠ ,求实数 m 的取值范围. ●案例探究 ［例 1］设 A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、 b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论. 命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为 A∩C= 且 B∩C= ，这 样难度就降低了. 错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内 涵，因而可能感觉无从下手. 技巧与方法：由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行 限制，可得到 b、k 的范围，又因 b、k∈N,进而可得值. 解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且 B∩C= ∵      bkxy xy 12 ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ∵A∩C= ∴Δ 1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是 16b2－16>0,即 b2>1 ① ∵      bkxy yxx 05224 2 ∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ,∴Δ 2=(1－k)2－4(5－2b)<0 ∴k2－2k+8b－19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ② 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ 1<0 和Δ 2<0 组成的不等式组，得      032 ,0184 2 2 kk kk ∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= . ［例 2］向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体 的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和 都不赞成的学生各有多少人？ 命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考 生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索. 技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系. 解：赞成 A 的人数为 50× 5 3 =30，赞成 B 的人数为 30+3=33，如上图，记 50 名学生组 成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合 A；赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 3 x +1,赞成 A 而 不赞成 B 的人数为 30－x，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33－x. 依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得 x=21. 所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人，都不赞成的有 8 人. ●锦囊妙计 1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用 描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重 视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性， 如 A  B,则有 A= 或 A≠ 两种可能，此时应分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)集合 M={x|x= 42 kx ,k∈Z},N={x|x= 22  k ,k∈Z},则( ) A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= 2.(★★★★)已知集合 A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当 A∩B 只有一个元 素时，a,b 的关系式是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)集合 A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0}, 求当 a 取什么实数时，A∩B 和 A∩C= 同时成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d 为公差且不为 0，a1 和 d 均为实数，它的前 n 项 和记作 Sn,设集合 A={(an, n Sn )|n∈N*},B={(x,y)| 4 1 x2－y2=1,x,y∈R}. 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B 至多有一个元素； (3)当 a1≠0 时，一定有 A∩B≠ . 7.(★★★★)已知集合 A={z||z－2|≤2,z∈C},集合 B={w|w= 2 1 zi+b,b∈R},当 A∩B=B 时， 求 b 的值. 8.(★★★★)设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}. (1)求证：A  B; (2)如果 A={－1，3}，求 B. 参考答案 难点磁场 解：由      )20(01 022 xyx ymxx 得 x2+(m－1)x+1=0 ① ∵A∩B≠ ∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ =(m－1)2－4≥0,得 m≥3 或 m≤－1,当 m≥3 时，由 x1+x2=－(m－1)＜0 及 x1x2=1>0 知，方程①只有负根，不符合要求. 当 m≤－1 时，由 x1+x2=－(m－1)>0 及 x1x2=1>0 知，方程①只有正根，且必有一根在区 间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内. 故所求 m 的取值范围是 m≤－1. 歼灭难点训练 一、1.解析：对 M 将 k 分成两类：k=2n 或 k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ + 4  ,n∈Z}∪{x|x= nπ + 4 3 ,n∈Z},对 N 将 k 分成四类，k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + 2  ,n ∈Z}∪{x|x=nπ + ,n∈Z}∪{x|x=nπ +π ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 4 5 ,n∈Z}. 答案：C 2.解析：∵A∪B=A，∴B  A,又 B≠ , ∴       121 712 21 mm m m 即 2＜m≤4. 答案：D 二、3.a=0 或 a≥ 8 9 4.解析：由 A∩B 只有 1 个交点知，圆 x2+y2=1 与直线 b y a x  =1 相切，则 1= 22 ba ab  , 即 ab= 22 ba  . 答案：ab= 三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得 x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由 x2+2x－8=0，∴C={2,－ 4},又 A∩C= ，∴2 和－4 都不是关于 x 的方程 x2－ax+a2－19=0 的解，而 A∩B  ,即 A ∩B≠ , ∴3 是关于 x 的方程 x2－ax+a2－19=0 的解，∴可得 a=5 或 a=－2. 当 a=5 时，得 A={2，3}，∴A∩C={2}，这与 A∩C= 不符合，所以 a=5(舍去)；当 a= －2 时，可以求得 A={3，－5}，符合 A∩C= ，A∩B ，∴a=－2. 6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn= 2 )( 1 naan  ,则 2 1n Sn (a1+an),这表明点(an, n Sn ） 的坐标适合方程 y 2 1 (x+a1),于是点(an, n Sn )均在直线 y= 2 1 x+ 2 1 a1 上. (2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组        14 1 2 1 2 1 22 1 yx axy 的解，由方程组消 去 y 得：2a1x+a1 2=－4(*)，当 a1=0 时，方程(*)无解，此时 A∩B= ；当 a1≠0 时，方程(*) 只有一个解 x= 1 2 1 2 4 a a ,此时，方程组也只有一解         1 2 1 1 2 1 4 4 2 4 a ay a ay ,故上述方程组至多有一解. ∴A∩B 至多有一个元素. (3）不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n－1)d=n>0, n Sn >0,这时集合 A 中的 元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于 a1=1≠0.如果 A∩B≠ ,那么据(2） 的结论，A∩B 中至多有一个元素(x0,y0）,而 x0= 5 2 2 4 1 2 1  a a ＜0,y0= 4 3 2 01  xa ＜0,这样 的(x0,y0）A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 A∩B= ，所以 a1≠0 时，一定有 A∩B≠ 是不正 确的. 7.解：由 w= 2 1 zi+b 得 z= i bw 22  , ∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得| i bw 22  －2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1. ∴集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合 A 表示以点(2，0）为圆心， 半径为 2 的圆面，集合 B 表示以点(b,1)为圆心，半径为 1 的圆面. 又 A∩B=B，即 B  A，∴两圆内含. 因此 22 )01()2( b ≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2. 8.(1)证明：设 x0 是集合 A 中的任一元素，即有 x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有 f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A B. (2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程 x2+(p－1)x+q=0 有两根－1 和 3，应用韦达定理，得           3 1 3)1( ),1(31 q p q p ∴f(x)=x2－x－3. 于是集合 B 的元素是方程 f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根. 将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0 解得 x=1,3, 3 ,－ 3 . 故 B={－ ，－1， ，3}.